Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記雙曲線與兩坐標(biāo)軸之間的部分為(不含雙曲線與坐標(biāo)軸)．

（1）求的值；

（2）求內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)分別作平行于軸軸的直線，交雙曲線于點(diǎn)，記線段、雙曲線所圍成的區(qū)域?yàn)?/span>，若內(nèi)部(不包括邊界)不超過(guò)個(gè)整點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；（3）若內(nèi)部(不包括邊界)不超過(guò)個(gè)整點(diǎn)，

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）將G內(nèi)x=1，2，3，4分別代入雙曲線，即可求出整點(diǎn)；

（3）根據(jù)m的情況進(jìn)行分類討論，具體見(jiàn)解析．

（1）∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)，

∴，

∴，

（2）對(duì)于雙曲線 ，

當(dāng)時(shí)，，

在直線上，當(dāng)0時(shí)，有整點(diǎn)（1，1）、（1，2）、（1，3），

當(dāng)時(shí)，，

在直線上，當(dāng)0時(shí)，有整點(diǎn)（2，1），

當(dāng)時(shí)，，

在直線上，當(dāng)0時(shí)，有整點(diǎn)（3，1），

當(dāng)時(shí)，，

在直線上，當(dāng)0時(shí)，沒(méi)有整點(diǎn)．

∴G內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5個(gè)．

（3）如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B（4，4）， 點(diǎn)C（1，4）此時(shí)在區(qū)域W內(nèi)(不包含邊界)有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3個(gè)整點(diǎn)，線段BD上有4個(gè)整點(diǎn)，線段BC上有4個(gè)整點(diǎn)，

∵點(diǎn)（4，4）重合，點(diǎn)（4,1）（1,4）在邊界上，

∴當(dāng)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)至少有3+4+4-3=8個(gè)整點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，B'（4.5，5），C（），

線段B'C'上有4個(gè)整點(diǎn)，此時(shí)區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，

當(dāng)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，

若W內(nèi)部(不包括邊界)不超過(guò)8個(gè)整點(diǎn)，．