【題目】在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F為弧AD上一點(diǎn)，BC=AF，延長(zhǎng)DF與BA的延長(zhǎng)線交于E．

⑴求證△ABD為等腰三角形．

⑵求證ACAF=DFFE

【答案】⑴由圓的性質(zhì)知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴ACAF=" CD" FE

而CD=DF，

∴ACAF=DFFE

【解析】

解決此題關(guān)鍵要用到與圓相關(guān)的性質(zhì)、定理以及三角形相似的判定，等角對(duì)等邊。

有一定的幾何知識(shí)的綜合性。考查學(xué)生審圖，分析圖中邊角關(guān)系的解題技能。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙C上一點(diǎn)P作⊙C的切線l．當(dāng)入射光線照射在點(diǎn)P處時(shí)，產(chǎn)生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點(diǎn)P稱為反射點(diǎn)．規(guī)定：光線不能“穿過”⊙C，即當(dāng)入射光線在⊙C外時(shí)，只在圓外進(jìn)行反射；當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時(shí)，只在圓內(nèi)進(jìn)行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．

（1）自⊙C內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P1是第1個(gè)反射點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)趫D2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線和反射點(diǎn)P3；

（2）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，如圖3：

①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于y軸，且自⊙O的外部照射在圓上點(diǎn)P處，此光線經(jīng)⊙O反射后，反射光線與x軸平行，則反射光線與切線l的夾角為___________°；

②自點(diǎn)M（0，1）出發(fā)的入射光線，在⊙O內(nèi)順時(shí)針方向不斷地反射．若第1個(gè)反射點(diǎn)是P1，第二個(gè)反射點(diǎn)是P2，以此類推，第8個(gè)反射點(diǎn)是P8恰好與點(diǎn)M重合，則第1個(gè)反射點(diǎn)P1的坐標(biāo)為___________；

（3）如圖4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內(nèi)自點(diǎn)O出發(fā)的入射光線經(jīng)⊙M反射后，反射光線與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，求反射點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的拋物線是二次函數(shù)（a≠0）的圖象，則下列結(jié)論：①abc＞0；②b+2a=0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正確的結(jié)論有

A. 5個(gè) B. 4個(gè) C. 3個(gè) D. 2個(gè)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段A′B，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，連接AA′交線段BC于點(diǎn)D．

（Ⅰ）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（Ⅱ） =　 　．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為；③當(dāng)AD＝2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則AD＝；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，AB=5，AC=6，過D點(diǎn)作DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)

（1）求△BDE的周長(zhǎng)

（2）點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，求證：BP=DQ

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是的直徑，點(diǎn)、是圓上的兩點(diǎn)，且平分，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為．若的半徑為，，則圖中陰影部分的面積是________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公園的門票每張10元，一次性使用.考慮到周圍群眾經(jīng)常進(jìn)入公園鍛煉的需求，該公園除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個(gè)人年票”(個(gè)人年票從購買日起，可供持票者使用一年)的售票方法.年票分A.B.C三類：A類年票每張120元，持票者進(jìn)入公園時(shí)，無需再購門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入該公園時(shí)，需要購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進(jìn)入公園時(shí)，需要再購買門票，每次3元

（1）請(qǐng)列不等式說明一年中進(jìn)入該公園超過多少次時(shí)，購買A類年票相比不購年票比較合算?

（2）設(shè)一年進(jìn)入公園次數(shù)為，一年購票總費(fèi)用為，請(qǐng)分別寫出選擇B類和C類年票的費(fèi)用與次數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并在如圖平面坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象討論B類年票和C類年票哪一種更合算.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解學(xué)生體育訓(xùn)練的情況，某市從全市九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次體育科目測(cè)試（把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)、B級(jí)、C級(jí)、D級(jí)），并將那個(gè)測(cè)試結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：

（1）本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是　 　；

（2）扇形圖中∠α的度數(shù)是　 　，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）對(duì)A，B，C，D四個(gè)等級(jí)依次賦分為90，75，65，55（單位：分），比如：等級(jí)為A的同學(xué)體育得分為90分，…，依此類推．該市九年級(jí)共有學(xué)生32000名，如果全部參加這次體育測(cè)試，估計(jì)該市九年級(jí)不及格（即60分以下）學(xué)生的人數(shù)．

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