【題目】問題情境:如圖1,在正方形ABCD中,E為邊BC上一點(不與點B、C重合),垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、PN.判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

問題探究:在問題情境的基礎(chǔ)上,

1)如圖2,若垂足P恰好為AE的中點,連接BD,交MN于點Q,連接EQ,并延長交邊AD于點F.求∠AEF的度數(shù);

2)如圖3,當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時,連接AN,將APN沿著AN翻折,點P落在點P'處.若正方形ABCD的邊長為4 ,AD的中點為S,求P'S的最小值.

問題拓展:如圖4,在邊長為4的正方形ABCD中,點M、N分別為邊AB、CD上的點,將正方形ABCD沿著MN翻折,使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點A,C'NAD于點F.分別過點AFAGMN,FHMN,垂足分別為GH.若AG,請直接寫出FH的長.

【答案】問題情境:.理由見解析;問題探究:(1;(2的最小值為;問題拓展:.

【解析】

問題情境:過點BBFMN分別交AE、CD于點G、F,證出四邊形MBFN為平行四邊形,得出NFMB,證明ABE≌△BCF得出BECF,即可得出結(jié)論;

問題探究:(1)連接AQ,過點QHIAB,分別交AD、BC于點H、I,證出DHQ是等腰直角三角形,HDHQ,AHQI,證明RtAHQRtQIE得出∠AQH=∠QEI,得出AQE是等腰直角三角形,得出∠EAQ=∠AEQ45°,即可得出結(jié)論;

2)連接ACBD于點O,則APN的直角頂點POB上運動,設(shè)點P與點B重合時,則點P′與點D重合;設(shè)點P與點O重合時,則點P′的落點為O′,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA=∠ADO′45°,當(dāng)點P在線段BO上運動時,過點PPGCD于點G,過點P′P′HCDCD延長線于點H,連接PC,證明APB≌△CPB得出∠BAP=∠BCP,證明RtPGNRtNHP'得出PGNHGNP'H,由正方形的性質(zhì)得出∠PDG45°,易得出PGGD,得出GNDH,DHP'H,得出∠P'DH45°,故∠P'DA45°,點P'在線段DO'上運動;過點SSKDO',垂足為K,即可得出結(jié)果;

問題拓展:延長AGBCE,交DC的延長線于Q,延長FHCDP,則EGAG,PHFH,得出AE5,由勾股定理得出BE3,得出CEBCBE1,證明ABE∽△QCE,得出QEAE,AQAE+QE,證明AGM∽△ABE,得出AM,由折疊的性質(zhì)得:AB'EB3,∠B'=∠B90°,∠C'=∠BCD90°,求出B'M,AC'1,證明AFC'∽△MAB',得出AF,證明DFP∽△DAQ,得出FP,得出FHFP

問題情境:因為四邊形是正方形,

所以.

過點分別交于點.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.所以,

所以,

又因為,

所以.,所以.

因為,所以,所以.

問題探究:

1)連接,過點,分別交于點.易得四邊形矩形.

所以.

因為是正方形的對角線,所以.

所以是等腰直角三角形,.所以.

因為的垂直平分線,所以.

所以.所以.

所以.所以.

所以是等腰直角三角形,,即.

2)如圖所示,連接于點,由題意易得的直角頂點上運動.

設(shè)點與點重合,則點與點重合;

設(shè)與點重合,則點的落點為.易知.

當(dāng)點在線段上運動時,

過點的垂線,垂足為

過點,垂足為點.

易證:

所以,

因為是正方形的對角線,

所以,易得,所以.

所以.

所以,故.

所以點在線段上運動.

過點,垂足為,因為點的中點,

所以,則的最小值為.

問題拓展:

解:延長AGBCE,交DC的延長線于Q,延長FHCDP,如圖4

EGAG,PHFH,

AE5,

RtABE中,BE3

CEBCBE1,

∵∠B=∠ECQ90°,∠AEB=∠QEC,

∴△ABE∽△QCE,

AGMN,

∴∠AGM90°=∠B,

∵∠MAG=∠EAB,

∴△AGM∽△ABE

,即,

解得:,

由折疊的性質(zhì)得:AB'EB3,∠B'=∠B90°,∠C'=∠BCD90°,

B'M

∵∠BAD90°,

∴∠B'AM=∠C'FA,

∴△AFC'∽△MAB',

,

解得:

AGMN,FHMN,

AGFH

AQFP,

∴△DFP∽△DAQ,

,即,

解得:FP

FH

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中ab,c分別為ABC三邊的長.

(1)如果x=-1是方程的根,試判斷ABC的形狀,并說明理由;

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根,試判斷ABC的形狀,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可銷售20件,每件盈利40元.為了擴大銷售量,增加盈利,盡量減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價5元,商場平均每天可多售出10件.

(1)若每件襯衫降價4元,商場每天可盈利多少元?

(2)若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F.

(1)證明:PC=PE;

(2)求CPE的度數(shù);

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,OAC中點,過點O的直線分別與AB,CD交于點E,F,連接BFAC于點M,連接DE,BO.若∠COB60°,FOFC,則下列結(jié)論:FBOC,OMCM;EOB≌△CMBMBOE32;四邊形EBFD是菱形.其中正確結(jié)論是( 。

A.①②③B.②③④C.①④D.①③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】P是正方形ABCDAB上一點(不與A,B重合),連接PD并將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段PE,連接BE,則∠CBE等于

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】 若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等,則稱這個四邊形為奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,ACBD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質(zhì):奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:

1)矩形 奇妙四邊形(填“是”或“不是”);

2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形,若⊙O的半徑為6,∠ BCD=60°.求奇妙四邊形ABCD的面積;

3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OMBCM.請猜測OMAD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面內(nèi),將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABC′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′=________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(3,0)和B(1,0)兩點,交y軸于點C(0,3),點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點B、D.

(1)請直接寫出D點的坐標(biāo).

(2)求二次函數(shù)的解析式.

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案