【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC=120°.動點P、Q同時從點A出發(fā),其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路線向點C運動;Q先以2cm/s的速度沿A→O的路線向點O運動,然后再以2cm/s的速度沿O→D的路線向點D運動,當P、Q到達終點時,整個運動隨之結束,設運動時間為t秒.
(1)在點P在AB上運動時,判斷PQ與對角線AC的位置關系,并說明理由;
(2)若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M,過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點N.
①直接寫出當△PQM是直角三角形時t的取值范圍;
②是否存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)PQ⊥AC,理由見解析;(2)①0<t<5或t=7.5;②存在,t=2或
【解析】
(1)利用相似三角形的性質解決問題即可.
(2)①分兩種情形分別求解即可.
②假設存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形,但是需分點N在AD上時和點N在CD上時兩種情況分別討論.
(1)由題意AP=4t,AQ=2t.
則==,
又∵AO=10,AB=20,
∴==.
∴=,
又∵∠CAB=30°,
∴△APQ∽△ABO.
∴∠AQP=∠AOB=90°,即PQ⊥AC.
(2)①由(1)可知,當0<t<5時,如圖1中,∠PQM=90°,△PQM是直角三角形,
當5<t<10時,如圖2中,當BP=PC時,∠PMQ=90°,此時t=7.5,
綜上所述,當0<t<5或t=7.5時,△PQM是直角三角形
②存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.
設l交AC于H.
如圖1,當點N在AD上時,若PN⊥MN,則∠NMH=30°.
∴MH=2NH.得20﹣4t﹣t=2×,解得t=2.
如圖3,當點N在CD上時,若PM⊥PN,則PM∥CD,
∴∠BPM=∠BCD=60°,∠BMP=∠BDC=60°,
∵∠PBM=60°,
∴△PBM是等邊三角形,
∵PB=BM,
∴4t﹣20= [20﹣2×2(t﹣5)],
解得t=.
故當t=2或時,存在以PN為一直角邊的直角三角形.
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【題目】某區(qū)域平面示意圖如圖,點O在河的一側,AC和BC表示兩條互相垂直的公路.甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°,乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°,測得AC=840m,BC=500m.請求出點O到BC的距離.參考數據:sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈
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【題目】將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊,BE,EG,FG為折痕,若頂點A,C,D都落在點O處,且點B,O,G在同一條直線上,同時點E,O,F在另一條直線上,則的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知四邊形中,,,點是射線上一點,點是射線上一點,且滿足.
(1)如圖,當點在線段上時,若,在線段上截取,聯結.求證:;
(2)如圖,當點在線段的延長線上時,若,,,設,,求關于的函數關系式及其定義域;
(3)記與交于點,在(2)的條件下,若與相似,求線段的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點,過點作軸于點,,,點的坐標為.
(1)求一次函數和反比例函數的表達式;
(2)求的面積;
(3)是軸上一點,且是等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點坐標.
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【題目】如圖1,該拋物線是由y=x2平移后得到,它的頂點坐標為(﹣,﹣),并與坐標軸分別交于A,B,C三點.
(1)求A,B的坐標.
(2)如圖2,連接BC,AC,在第三象限的拋物線上有一點P,使∠PCA=∠BCO,求點P的坐標.
(3)如圖3,直線y=ax+b(b<0)與該拋物線分別交于P,G兩點,連接BP,BG分別交y軸于點D,E.若ODOE=3,請?zhí)剿?/span>a與b的數量關系.并說明理由.
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【題目】對于任意一個四位數,我們可以記為,即.若規(guī)定: 對四位正整數進行 F運算,得到整數.例如,;.
(1)計算:;
(2)當時,證明:的結果一定是4的倍數;
(3)求出滿足的所有四位數.
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【題目】如圖(1)所示,E是矩形ABCD的邊AD上一邊,動點P,Q同時從點B出發(fā),點P沿折線運動到點C時停止,點Q沿BC運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/秒,設P,Q同時出發(fā)t秒后時,的面積為,已知與的函數關系圖像如圖(2)(曲線OM為拋物線的一部分),則當t的值是___________時,面積為4.
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