Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長(zhǎng)．

（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律．若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）.

【解析】

（1）先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長(zhǎng)；

（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的結(jié)論求出PB=，最后代入EF=PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變

（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ ，∴ CP=AD=4

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴邊CD的長(zhǎng)為10；

（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=FB，∴EF=EQ+QF=（PQ+QB）=PB，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB=，∴EF=PB=2，

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為2．