Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，BD⊥AD．

（1）求證：四邊形BEDF是菱形；

（2）作AG⊥CB于G，若AD＝1，AG＝2，求sinC的值；

（3）若（2）中的四邊形AGCD為一不可卷折的板材，問該板材能否通過一直徑為1.8的圓洞門？請計算說明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$；（3）該板材可以通過直徑是1.8的圓洞口

【解析】

（1）根據平行線的判定定理，證明對角線互相垂直的平行四邊形是平行四邊形是菱形，即可判斷；

（2）首先可以證得：四邊形AGBD是矩形，然后根據勾股定理即可求解；

（3）利用三角函數求得GH的長度，然后與1.8比較大小，即可判斷．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，DC＝AB，DC∥AB，

∴E，F分別是AB，CD的中點，

∴DF＝BE，DF∥BE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

又∵BD⊥AD，

所以DE＝AB＝BE，

∴四邊形BEDF是菱形；

（2）由題意：DB⊥BC，

∴DB∥AC，又AD∥CG，

∴四邊形AGBD是矩形，

∴DB＝AG＝2．

在平行四邊形ABCD中，BC＝AD＝1，

∴CD＝，

∴sinC＝；

（3）由（2）知，BG＝AD＝BC＝1，

∴GC＝2，

∴AG＝GC＝2＞1.8，

作GH⊥CD于H，

在直角△GCH中，GH＝GCsinC＝2×≈1.79＜1.8，

∴四邊形能夾在平行于CD，且兩者之間距離不足1.8的平行線之間．

∴該板材可以通過直徑是1.8的圓洞口．