Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A(－3，0)、B(－1，0)，與y軸相交于點C(0，3)，點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y＝kx－4k(k≠0)的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為(－4，m)時，求證：∠OPC＝∠AQC；

（3）點M、N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當(dāng)點M、N中有一點到達(dá)Q點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．

①連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時，求t的值；

②線段PQ能否垂直平分線段MN？如果能，請求出此時直線PQ的函數(shù)關(guān)系式；如果不能請說明你的理由．

 

Answer 1

(1)拋物線的解析式為：y＝x²＋4x＋3  (2)證明：當(dāng)x＝－4時，y＝3，∴P（－4，3）．∵C（0，3），∴PC＝4且PC∥x軸．……3分

 ∵一次函數(shù)y＝kx－4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當(dāng)y＝0時，x＝4，

∴Q(4，0)，即OQ＝4．∴PC＝OQ，又∵PC∥x軸， ∴四邊形POQC是平行四邊形  ∴∠OPC＝∠AQC．  

(3)①過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥y軸. ∴△QND∽△QCO∴＝，

在Rt△OCQ中，CQ＝＝＝5， ∴＝，∴ND＝(5－t)

∴S_△AMN＝AM·ND＝·3t·(5－t)＝－ (t－)²＋ … 6分

∵0≤x≤∴當(dāng)t＝時，△AMN的面積最大  ……………… 7分

②能.假設(shè)PQ垂直平分線段MN，則QM＝NQ，

∴7－3t＝5－t， ∴t＝1.此時AM＝3，

即點M與點O重合， QM＝NQ＝4. …… 8分

如圖，設(shè)PQ交y軸于點E，

∵∠MND＝90°－∠NMD＝∠MQE，

∴Rt△MND∽Rt△EQM，∴＝.

∵ND＝，DQ＝，∴MD＝，∴MD＝.  ∴E(0，)，……………… 9分

 ∵Q(4，0)，∴直線QE為y＝－x＋. 即直線PQ為y＝－x＋.……… 10分