【題目】如圖,在□ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AB⊥AC,AB=3cm,BC=5cm.點P從A點出發(fā)沿AD方向勻速運動,速度為1cm/s.連結(jié)PO并延長交BC于點Q,設(shè)運動時間為t(0<t<5).
(1)當(dāng)t為何值時,四邊形ABQP是平行四邊形?
(2)設(shè)四邊形OQCD的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使點O在線段AP的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
備用圖
【答案】(1)當(dāng)t=時,四邊形ABQP是平行四邊形(2)y=t+3(3)存在,當(dāng)t=時,點O在線段AP的垂直平分線上
【解析】
(1)根據(jù)ASA證明△APO≌△CQO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=CQ=t,則BQ=5-t,再根據(jù)平行四邊形的判定定理可知當(dāng)AP∥BQ,AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,即t=5-t,求出t的值即可求解;
(2)過A作AH⊥BC于點H,過O作OG⊥BC于點G,根據(jù)勾股定理求出AC=4,由Rt△ABC的面積計算可求得AH=,利用三角形中位線定理可得OG=,再根據(jù)四邊形OQCD的面積y= S△OCD+S△OCQ=OC·CD+CQ·OG,代入數(shù)值計算即可得y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖2,若OE是AP的垂直平分線,可得AE=AP=,∠AEO=90°,根據(jù)勾股定理可得AE2+OE2=AO2,由(2)知:AO=2,OE=,列出關(guān)于t的方程,解方程即可求出t的值.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠PAO=∠QCO.
又∵∠AOP=∠COQ,
∴△APO≌△CQO,
∴AP=CQ=t.
∵BC=5,
∴BQ=5-t.
∵AP∥BQ,
當(dāng)AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,
即t=5-t,∴t=,
∴當(dāng)t=時,四邊形ABQP是平行四邊形;
(2) 圖1
如圖1,過A作AH⊥BC于點H,過O作OG⊥BC于點G.
在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=5,∴AC=4,
∴CO=AC=2,
S△ABC=AB·AC=BC·AH,
∴3×4=5AH,
∴AH=.
∵AH∥OG,OA=OC,
∴GH=CG,
∴OG=AH=,
∴y=S△OCD+S△OCQ=OC·CD+CQ·OG,
∴y=×2×3+×t×=t+3;
圖2
(3)存在.
如圖2,∵OE是AP的垂直平分線,
∴AE=AP=,∠AEO=90°,
由(2)知:AO=2,OE=,
由勾股定理得:AE2+OE2=AO2,
∴(t)2+()2=22,
∴t=或- (舍去),
∴當(dāng)t=時,點O在線段AP的垂直平分線上.
故答案為:(1)當(dāng)t=時,四邊形ABQP是平行四邊形(2)y=t+3(3)存在,當(dāng)t=時,點O在線段AP的垂直平分線上.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)
(1)請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形,直接寫出點的坐標(biāo);
(2)請畫出△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90的圖形,直接寫出點的坐標(biāo);
(3)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象以A(﹣1,4)為頂點,且過點B(2,﹣5).
(1)求該函數(shù)的關(guān)系式;
(2)求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】揚州某中學(xué)七年級一班 40 名同學(xué)第二次為四川災(zāi)區(qū)捐款,共捐款 2000 元,捐款情況如下表:
捐款(元) | 20 | 40 | 50 | 100 |
人數(shù) | 10 | 8 |
表格中捐款 40 元和 50 元的人數(shù)不小心被墨水污染已看不清楚、若設(shè)捐款 40 元的有 x 名同學(xué),捐款 50 元的有y 名同學(xué),根據(jù)題意,可得方程組( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中, , ,△CDE中, ,CD=DE=5,
連接接BE,取BE中點F,連接AF、DF.
(1)如圖1,若三點共線, 為中點.
①直接指出與的關(guān)系______________;
②直接指出的長度______________;
(2)將圖(1)中的△CDE繞點逆時針旋轉(zhuǎn)(如圖2, ),試確定與的關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)中,若,請直接指出點所經(jīng)歷的路徑長.
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∠ABC=60°,點E是AB的中點,連接CE、OE,若AB=2BC,下列結(jié)論:①∠ACD=30°;②當(dāng)BC=4時,BD=;③CD=4OE;④S△COE=S四邊形ABCD.其中正確的個數(shù)有( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】出租車司機小張某天上午勞動線路是在南北走向的公路上進行的,如果規(guī)定向南為正,向北為負(fù),他這天上午行車?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┤缦拢?/span>,,,,,,,,,,.
(1)將最后一名乘客送到目的地時,小張距上午出發(fā)時的出發(fā)點多遠(yuǎn)?在出發(fā)點的南邊還是北邊?
(2)若汽車耗油量為升/千米,這天上午汽車耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點E是正方形ABCD的邊BC上一點,連接DE,將DE繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到EG,過點G作GF⊥CB,垂足為F,GH⊥AB,垂足為H,連接DG,交AB于I.
(1)求證:四邊形BFGH是正方形;
(2)求證:ED平分∠CEI;
(3)連接IE,若正方形ABCD的邊長為3,則△BEI的周長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點D的坐標(biāo)是(-3,1),點A的坐標(biāo)是(4,3).
(1)將△ABC平移后使點C與點D重合,點A、B與點E、F重合,畫出△DEF,并直接寫出E、F的坐標(biāo).
(2)若AB上的點M坐標(biāo)為(x,y),則平移后的對應(yīng)點M′的坐標(biāo)為多少?
(3)求△ABC的面積.
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