【題目】已知:中,,點內(nèi)一點,連接,,過點,交的延長線于點.

1)如圖1,求證:;

2)如圖2,點的中點,分別連接,,求的度數(shù);

3)如圖3,在(2)的條件下,點上一點,連接,點的中點,連接,過點,交的延長線于點,若的面積為30,,求線段的長.

【答案】(1)見解析;245°;(3)10

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定得出CAE≌△ABD,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD;
2)根據(jù)全等三角形的判定得出AEH≌△BDH,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答;
3)過點MMSFH于點S,過點EERFH,交HF的延長線于點R,過點EETBC,根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可.

證明:(1)∵CEAE,BDAE,
∴∠AEC=ADB=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE+CAE=CAE+BAD=90°,
∴∠ACE=BAD,
CAEABD

∴△CAE≌△ABDAAS),
AE=BD;

2)連接AH,如圖2

AB=AC,BH=CH,
∴∠BAH=BAC×90°45°,∠AHB=90°,
∴∠ABH=BAH=45°,
AH=BH
∵∠EAH=BAH-BAD=45°-BAD
DBH=180°-ADB-BAD-ABH=45°-BAD,
∴∠EAH=DBH,
AEHBDH
∴△AEH≌△BDHSAS),
EH=DH,∠AHE=BHD,
∴∠AHE+EHB=BHD+EHB=90°
即∠EHD=90°,
∴∠EDH=DEH=45°
3)過點MMSFH于點S,過點EERFH,交HF的延長線于點R,過點EETBC,交HR的延長線于點T.如圖3

DGFH,ERFH,
∴∠DGH=ERH=90°,
∴∠HDG+DHG=90°
∵∠DHE=90°,
∴∠EHR+DHG=90°,
∴∠HDG=HER
DHGHER

∴△DHG≌△HERAAS),
HG=ER
ETBC,
∴∠ETF=BHG,∠EHB=HET,
∴∠ETF=FHM
∵∠EHB=BHG,
∴∠HET=ETF,
HE=HT,
EFTMFH

,
∴△EFT≌△MFHAAS),
HF=FT,
,
ER=MS,
HG=ER=MS,
設(shè)GH=6k,FH=5k,則HG=ER=MS=6k

==30,
k=,
FH=5,
HE=HT=2HF=10

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