Question

【題目】在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖①）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），求PC的長(zhǎng)；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②直接寫出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：在矩形ABCD中，

∠A=∠D=90°，

AP=1，CD=AB=2，則PB= ，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴ = ，即 = ，

∴PC=2

（2）解：①tan∠PEF的值不變．

理由：過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G，

則四邊形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴ = = =2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF= =2，

∴tan∠PEF的值不變；

②設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，

∵在Rt△EPF中，OP= EF，

在Rt△EBF中，OB= EF，

∴OP=OB= EF，

∴O點(diǎn)在線段BP的垂直平分線上，

∴線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為O1O2= PC=

【解析】1）由勾股定理求PB，利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不變．過(guò)F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值；
②如圖3，畫出起始位置和終點(diǎn)位置時(shí)，線段EF的中點(diǎn)O1，O2，連接O1O2，線段O1O2即為線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)，也就是△BPC的中位線．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)三角形中位線定理的理解，了解連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．