Question

【題目】如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線y=x2﹣4x﹣2經(jīng)過A，B兩點．

（1）求A點坐標(biāo)及線段AB的長；
（2）若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動，1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點B移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒．
①當(dāng)PQ⊥AC時，求t的值；
②當(dāng)PQ∥AC時，對于拋物線對稱軸上一點H，∠HOQ＞∠POQ，求點H的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=x2﹣4x﹣2知：當(dāng)x=0時，y=﹣2，

∴A（0，﹣2）．

由于四邊形OABC是矩形，所以AB∥x軸，即A、B的縱坐標(biāo)相同；

當(dāng)y=﹣2時，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4，

∴B（4，﹣2），

∴AB=4

（2）

解：①由題意知：A點移動路程為AP=t，

Q點移動路程為7（t﹣1）=7t﹣7．

當(dāng)Q點在OA上時，即0≤7t﹣7＜2，1≤t＜ 時，

如圖1，若PQ⊥AC，則有Rt△QAP∽Rt△ABC．

∴ ，即 ，

∴t= ．

∵ ＞ ，

∴此時t值不合題意．

當(dāng)Q點在OC上時，即2≤7t﹣7＜6， ≤t＜ 時，

如圖2，過Q點作QD⊥AB．

∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9．

∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t．

若PQ⊥AC，易證Rt△QDP∽Rt△ABC，

∴ ，即 = ，∴t= ，

∵ ＜ ＜ ，

∴t= 符合題意．

當(dāng)Q點在BC上時，即6≤7t﹣7≤8， ≤t≤ 時，

如圖3，若PQ⊥AC，過Q點作QG∥AC，

則QG⊥PG，即∠GQP=90°．

∴∠QPB＞90°，這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾，

此時PQ不與AC垂直．

綜上所述，當(dāng)t= 時，有PQ⊥AC．

②當(dāng)PQ∥AC時，如圖4，△BPQ∽△BAC，

∴ ，

∴ = ，

解得t=2，即當(dāng)t=2時，PQ∥AC．

此時AP=2，BQ=CQ=1，

∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）．

拋物線對稱軸的解析式為x=2，

當(dāng)H1為對稱軸與OP的交點時，

有∠H1OQ=∠POQ，

∴當(dāng)yH＜﹣2時，∠HOQ＞∠POQ．

作P點關(guān)于OQ的對稱點P′，連接PP′交OQ于點M，

過P′作P′N垂直于對稱軸，垂足為N，連接OP′，

在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．

∴OQ= ，

∵S△OPQ=S四邊形ABCO﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3= OQ×PM，

∴PM= ，

∴PP′=2PM= ，

∵對應(yīng)角的邊相互垂直，

∴∠NPP′=∠COQ．

∴△COQ∽△NPP′

∴ ，

∴P′N= ，PN= ，

∴P′（ ， ），

∴直線OP′的解析式為y= x，

∴OP′與NP的交點H2（2， ）．

∴當(dāng)yH＞ 時，∠HOQ＞∠POQ．

綜上所述，當(dāng)yH＜﹣2或yH＞ 時，∠HOQ＞∠POQ．

【解析】（1）已知拋物線的解析式，將x=0代入即可得A點坐標(biāo)；由于四邊形OABC是矩形，那么A、B縱坐標(biāo)相同，代入該縱坐標(biāo)可求出B點坐標(biāo)，則AB長可求．（2）①Q(mào)點的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段來分析，若PQ⊥AC時，很顯然前兩種情況符合要求，首先確定這三段上t的取值范圍，然后通過相似三角形（或構(gòu)建相似三角形），利用比例線段來求出t的值，然后由t的取值范圍將不合題意的值舍去；②當(dāng)PQ∥AC時，△BPQ∽△BAC，通過比例線段求出t的值以及P、Q點的坐標(biāo)，可判定P點在拋物線的對稱軸上，若P、H1重合，此時有∠H1OQ=∠POQ，顯然若做點H1關(guān)于OQ的對稱點H2 ， 那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而題干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1點以下、H2點以上的H點都是符合要求的．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標(biāo)軸的交點的相關(guān)知識點，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．