【題目】如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,連接AC,拋物線y=x2﹣4x﹣2經(jīng)過A,B兩點(diǎn).

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長;
(2)若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動,1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO,OC,CB邊向點(diǎn)B移動,當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一個點(diǎn)也停止移動,點(diǎn)P的移動時間為t秒.
①當(dāng)PQ⊥AC時,求t的值;
②當(dāng)PQ∥AC時,對于拋物線對稱軸上一點(diǎn)H,∠HOQ>∠POQ,求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】
(1)

解:由拋物線y=x2﹣4x﹣2知:當(dāng)x=0時,y=﹣2,

∴A(0,﹣2).

由于四邊形OABC是矩形,所以AB∥x軸,即A、B的縱坐標(biāo)相同;

當(dāng)y=﹣2時,﹣2=x2﹣4x﹣2,解得x1=0,x2=4,

∴B(4,﹣2),

∴AB=4


(2)

解:①由題意知:A點(diǎn)移動路程為AP=t,

Q點(diǎn)移動路程為7(t﹣1)=7t﹣7.

當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時,即0≤7t﹣7<2,1≤t< 時,

如圖1,若PQ⊥AC,則有Rt△QAP∽Rt△ABC.

,即 ,

∴t=

,

∴此時t值不合題意.

當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時,即2≤7t﹣7<6, ≤t< 時,

如圖2,過Q點(diǎn)作QD⊥AB.

∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9.

∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t.

若PQ⊥AC,易證Rt△QDP∽Rt△ABC,

,即 = ,∴t=

,

∴t= 符合題意.

當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時,即6≤7t﹣7≤8, ≤t≤ 時,

如圖3,若PQ⊥AC,過Q點(diǎn)作QG∥AC,

則QG⊥PG,即∠GQP=90°.

∴∠QPB>90°,這與△QPB的內(nèi)角和為180°矛盾,

此時PQ不與AC垂直.

綜上所述,當(dāng)t= 時,有PQ⊥AC.

②當(dāng)PQ∥AC時,如圖4,△BPQ∽△BAC,

,

= ,

解得t=2,即當(dāng)t=2時,PQ∥AC.

此時AP=2,BQ=CQ=1,

∴P(2,﹣2),Q(4,﹣1).

拋物線對稱軸的解析式為x=2,

當(dāng)H1為對稱軸與OP的交點(diǎn)時,

有∠H1OQ=∠POQ,

∴當(dāng)yH<﹣2時,∠HOQ>∠POQ.

作P點(diǎn)關(guān)于OQ的對稱點(diǎn)P′,連接PP′交OQ于點(diǎn)M,

過P′作P′N垂直于對稱軸,垂足為N,連接OP′,

在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1.

∴OQ= ,

∵SOPQ=S四邊形ABCO﹣SAOP﹣SCOQ﹣SQBP=3= OQ×PM,

∴PM=

∴PP′=2PM= ,

∵對應(yīng)角的邊相互垂直,

∴∠NPP′=∠COQ.

∴△COQ∽△NPP′

∴P′N= ,PN= ,

∴P′( ),

∴直線OP′的解析式為y= x,

∴OP′與NP的交點(diǎn)H2(2, ).

∴當(dāng)yH 時,∠HOQ>∠POQ.

綜上所述,當(dāng)yH<﹣2或yH 時,∠HOQ>∠POQ.


【解析】(1)已知拋物線的解析式,將x=0代入即可得A點(diǎn)坐標(biāo);由于四邊形OABC是矩形,那么A、B縱坐標(biāo)相同,代入該縱坐標(biāo)可求出B點(diǎn)坐標(biāo),則AB長可求.(2)①Q(mào)點(diǎn)的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段來分析,若PQ⊥AC時,很顯然前兩種情況符合要求,首先確定這三段上t的取值范圍,然后通過相似三角形(或構(gòu)建相似三角形),利用比例線段來求出t的值,然后由t的取值范圍將不合題意的值舍去;②當(dāng)PQ∥AC時,△BPQ∽△BAC,通過比例線段求出t的值以及P、Q點(diǎn)的坐標(biāo),可判定P點(diǎn)在拋物線的對稱軸上,若P、H1重合,此時有∠H1OQ=∠POQ,顯然若做點(diǎn)H1關(guān)于OQ的對稱點(diǎn)H2 , 那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而題干要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1點(diǎn)以下、H2點(diǎn)以上的H點(diǎn)都是符合要求的.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點(diǎn).才能正確解答此題.

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1)當(dāng)時;

①若,則的度數(shù)為 ;

②若,求的度數(shù);

2)由(1)猜想的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)當(dāng)時,這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直?若存在,請直接寫出所有可能的值,并指出哪兩邊互相垂直(不必說明理由);若不存在,請說明理由.

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兩種裁法共產(chǎn)生A型板材   B型板材   ;

設(shè)做成的豎式無蓋禮品盒x,橫式無蓋禮品盒的y根據(jù)題意完成表格

做成的豎式和橫式兩種無蓋禮品盒總數(shù)最多是   ;此時,橫式無蓋禮品盒可以做   個.(在橫線上直接寫出答案無需書寫過程

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