Question

【題目】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的邊從邊開始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為．

（1）當(dāng)時(shí)；

①若，則的度數(shù)為 ；

②若，求的度數(shù)；

（2）由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請(qǐng)直接寫出所有可能的值，并指出哪兩邊互相垂直（不必說明理由）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見詳解；（3）當(dāng)=30°時(shí)，AD⊥CE，當(dāng)=90°時(shí)，AC⊥CE，當(dāng)=75°時(shí)，AD⊥BE，當(dāng)=45°時(shí)，CD⊥BE．

【解析】

（1）①先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠ACB的度數(shù)；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DCE的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再分3種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別證明∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，即可；
（3）分4種情況：①若AD⊥CE時(shí)，②若AC⊥CE時(shí)， ③若AD⊥BE時(shí)，④若CD⊥BE時(shí)，分別求出的值，即可．

（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°30°=60°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，

故答案是150°；

②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=130°90°=40°，

∴∠DCE=90°40°=50°；

（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：

①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；

②當(dāng)時(shí)，如圖2，∠ACB+∠DCE=180°，顯然成立；
③當(dāng)時(shí)，如圖3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．

綜上所述：∠ACB+∠DCE=180°；

(3)存在，理由如下：

①若AD⊥CE時(shí)，如圖4，則=90°-∠A=90°-60°=30°，

②若AC⊥CE時(shí)，如圖5，則=∠ACE=90°，

③若AD⊥BE時(shí)，如圖6，則∠EMC=90°+30°=120°，

∵∠E=45°，

∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，

∴=90°-15°=75°，

④若CD⊥BE時(shí)，如圖7，則AC∥BE，

∴=∠E=45°．

綜上所述：當(dāng)=30°時(shí)，AD⊥CE，當(dāng)=90°時(shí)，AC⊥CE，當(dāng)=75°時(shí)，AD⊥BE，當(dāng)=45°時(shí)，CD⊥BE．