Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．

特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′=0．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．

①分別判斷點(diǎn)M（2，1），N（，0），T（1， ）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)P在直線y=﹣x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②0＜x＜2；（2）圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2≤x≤8．

【解析】試題分析：（1） ①根據(jù)反稱點(diǎn)的定義畫圖得出結(jié)論；②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2和x=0代入驗(yàn)證即可得出，P（2，0），P′（2，0）不符合題意P（0，2），P′（0，0）不符合題意，∴0＜x＜2

（2）求出A，B的坐標(biāo)，得出OA與OB的比值，從而求出∠OAB=30°，設(shè)C（x，0）

①當(dāng)C在OA上時(shí)，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4，得出 C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≥2． （當(dāng)x＝2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），H點(diǎn)的反稱點(diǎn)H′（2，0）在圓的內(nèi)部）；②當(dāng)C在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為2，∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≤8，得出結(jié)論.

試題解析： （1）解：①M（2，1）不存在， 存在，反稱點(diǎn) 存在，反稱點(diǎn)T′（0，0）

②∵CP≤2r＝2 CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤4

2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，當(dāng)x＝2時(shí)，P（2，0），P′（2，0）不符合題意

當(dāng)x＝0時(shí)，P（0，2），P′（0，0）不符合題意，∴0＜x＜2

（2）解：由題意得：A（6，0），，∴，∴∠OAB＝30°，設(shè)C（x，0）

①當(dāng)C在OA上時(shí)，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≥2．

（當(dāng)x＝2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），H點(diǎn)的反稱點(diǎn)H′（2，0）在圓的內(nèi)部）

②當(dāng)C在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為2，∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≤8

綜上所述：圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍2≤x≤8．