Question

【題目】如圖，為的直徑，于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，使，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連結(jié)，．

（1）連結(jié)，求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共邊，結(jié)論顯然成立．
（2）連接OC，只需證明OC⊥PC即可．根據(jù)三角形外角知識(shí)以及圓心角與圓周角關(guān)系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，結(jié)論得證．
（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=，設(shè)BG=2x，則CG=3x．注意到AB是直徑，連接AC，則∠ACB是直角，由相似三角形可知CG2=BGAG，可得出AG的表達(dá)式（用x表示），再根據(jù)AG-BG=求出x的值，從而CG、CB、BD、CD的長(zhǎng)度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例關(guān)系算出ED的值．

（1）證明：因?yàn)?/span>，

所以，

在和中：

所以．

（2）證明：連接．

因?yàn)?/span>，

，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>于，

所以，

所以，

即，

所以，

所以是圓的切線．

（3）因?yàn)橹睆?/span>弦于，

所以，，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，

設(shè)，則．

連接，則，

因?yàn)?/span>，，

所以

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

解得，

所以，，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以．