Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，P是AB邊上的一點（不與A，B重合），PE平分∠APC交射線AD于E，過E作EM⊥PE交直線CP于M，交直線CD于N．

（1）求證：CM=CN；
（2）若AB：BC=4：3，
①當 =時，E恰好是AD的中點；
②如圖2，當△PEM與△PBC相似時，求 E N E M 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長PE交CD的延長線于F，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠A=∠ADC=∠EDF═90°，AB=CD，AD=BC，

∴∠APE+∠AEP=90°，

∴∠F=∠APE，

∵EM⊥EN，

∴∠PEN=∠FEN=90°，

∴∠CPE+∠PME=90°，∠F+∠N=90°，

∵PE平分∠APC，

∴∠APE=∠MPE，

又∵∠PME=∠CMN，

∴∠CMN=∠N，

∴CM=CN

（2）[",解：分兩種情況：①若△PEM∽△CCBP,則∠EPM=∠BCP,∴PE∥BC,不成立；②若△PEM∽△PBC,則∠APB=∠EPM=∠BPC=60°,設AB=4a,BC=AD=3a,則PB= a,AP=（4﹣ ）a,AE=（4 ﹣3）a,設PE與CD交于點F,如圖3所示：∵AB∥CD,∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°,∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°,∵EM⊥PE,∴∠NEF=∠PEM=90°,∴△PEM∽△FEN,∴ ,∵AB∥CD,∴ ,∴ = = 【解析】（2）解：①若E是AD的中點，則M、N、C三點重合，

∵E為AD的中點，

∴AE=DE，

在△APE和△DFE中， ，

∴△APE≌△DFE（ASA），

∴AP=DF，PE=FE，

∵EM⊥EN，

∴PC=FC，

∵FC=CD+DF，

∴AP+CD=PC，

設AD=3a，AB=4a，

過P作PF⊥CD于F，如圖2所示：

設AP=DE=x，則PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，

由勾股定理得：（4﹣x）2+32=（4+x）2，

解得：x= a，4﹣x= a，

∴ ；

【考點精析】通過靈活運用角的平分線判定和對頂角和鄰補角，掌握可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)；兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個即可以解答此題．