Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當AB：AD=　　時，四邊形MENF是正方形．

Answer 1

       （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵M為AD的中點，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，

理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，

∴AB=AM=DM=DC，

∵∠A=∠D=90°，

∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，

∴∠BMC=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠MBC=∠MCB=45°，

∴BM=CM，

∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，

∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵ME=MF，∠BMC=90°，

∴四邊形MENF是正方形，

即當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，