Question

【題目】如圖1所示，以點(diǎn)M(1，0)為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A，B，C，D，與⊙M相切于點(diǎn)H的直線EF交x軸于點(diǎn)E（，0），交y軸于點(diǎn)F（0，）．

(1)求⊙M的半徑r；

(2)如圖2所示，連接CH，弦HQ交x軸于點(diǎn)P，若cos∠QHC=，求的值；

(3)如圖3所示，點(diǎn)P為⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，求PF+PE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）r=2；（2）=；（3）．

【解析】

（1）連接MH，根據(jù)點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），求出的值，再通過證明△EMH∽△EFO，得到，即可解出r的值；

（2）連接DQ、CQ，由cos∠QDC =cos∠QHC =，可得，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH是RT△EHM斜邊上的中線，得到CH=EM=2．再通過證明△CHP∽△QDP，即可得到；

（3）取CM的中點(diǎn)N，連接PM、PN，由OM=1，OE=5，可得ME=4，進(jìn)而得到，

通過證明△PMN∽△EMP，可得，即，所以當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PE的最小值為FN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求的PF+PE的最小值.

（1）如圖，連接MH，

∵點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），

∴OE=5，OF=，

∴，

∵M（-1，0），

∴OM=1，

∴EM=OE-OM=4，

∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，

∴△EMH∽△EFO，

∴，

即，

∴r=2；

(2) 如圖，連接DQ、CQ.

∵CD為直徑，∴∠CQD=90°，

∵∠QHC=∠QDC，

∴cos∠QDC =cos∠QHC =，

∴，

由（1）可知，r=2，故CD=4，

∴DQ=3，

∵CH是RT△EHM斜邊上的中線，
∴CH=EM=2．

∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，

∴△CHP∽△QDP，

∴；

（3）如圖，取CM的中點(diǎn)N，連接PM、PN，

∵OM=1，OE=5，

∴ME=4，

∴，

又∵∠PMN=∠EMP，

∴△PMN∽△EMP，

∴，

∴，

當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，PF+PE的最小值為FN的長(zhǎng)，

∴點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，

∴ON=2，

∴，

∴PF+PE的最小值為.