【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中拋物線x軸于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C, AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為-13,C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4.

1)求拋物線的解析式;

2)動(dòng)點(diǎn)D在第四象限且在拋物線上,當(dāng)△BCD面積最大時(shí),求D點(diǎn)坐標(biāo),并求△BCD面積的最大值;

3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得∠QBC=45°,如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),不存在說明理由.

【答案】1;(2D,-5),最大值;(3)(1.

【解析】

1)將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線,即可求出;

2)作DH垂直ABH,設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(xy),則有OC=4,OB=3,OH=xHD=-y,由 ,,化簡(jiǎn)即可出;

3)由函數(shù)關(guān)系式:化簡(jiǎn)得對(duì)稱軸為,作出對(duì)稱軸,交x軸于F點(diǎn),連接CB,交對(duì)稱軸于E點(diǎn),求出BC的函數(shù)解析式,則可以知道E點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,),所以存在一點(diǎn)Q,使得∠QBC=45°,并且點(diǎn)QFE之間,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,),求出線段 的斜率,線段 的斜率 ,利用兩直線相交交角為,得到,化簡(jiǎn)即可。

解:(1)由圖像可知:A,BC,三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),(3,0),(0,-4),

AB,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線

得: ,解之得:

∴拋物線的解析式為:;

2)如圖,作DH垂直ABH,設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

則有:OC=4,OB=3OH=x,HD=-y,HB=3-x

∴梯形CDHO為直角梯形,

即:

又∵D點(diǎn)在拋物線上,

∴當(dāng)時(shí),BCD面積有最大值,是,

所以D點(diǎn)坐標(biāo)為:(,-5);

3)由函數(shù)關(guān)系式:化簡(jiǎn)得:,

∴對(duì)稱軸為:,

如圖示:作出對(duì)稱軸,交x軸于F點(diǎn),連接CB,交對(duì)稱軸于E點(diǎn),

∴由B,C,的坐標(biāo)分別是(30),(0,-4),設(shè)BC的函數(shù)解析式為:

則: ,解之得:

BC的函數(shù)解析式為:,當(dāng)時(shí),

E點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,),

BF=2,FE=,

即:

∴存在一點(diǎn)Q,使得∠QBC=45°,并且點(diǎn)QFE之間,

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,

∵直線BQ和BC的交角為,

即:

化簡(jiǎn)得:

Q點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,

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1)請(qǐng)問工廠平均每月降低率為多少?

2)該工廠將產(chǎn)品投放市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)銷,經(jīng)過調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

銷售單價(jià)(元/件)

……

40

50

60

70

……

每天銷售量(件)

……

400

300

200

100

……

把上表中的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo),在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn),猜想的函數(shù)關(guān)系,并求出函數(shù)關(guān)系式.

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