Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為（－2，0），（6，－8）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)；

（2）試探究拋物線上是否存在點F，使≌，若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點P是y軸負(fù)半軸上的一個動點，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點Q．試探究：當(dāng)m為何值時，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；B（8,0）；E（3，-4）；（2）（）或（）；（3）或.

【解析】

試題（1）將A，D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解二元一次方程即可求出函數(shù)表達(dá)式；點B坐標(biāo)：利用拋物線對稱性，求出對稱軸結(jié)合A點坐標(biāo)即可求出B點坐標(biāo)；點E坐標(biāo)：E為直線l和拋物線對稱軸的交點，利用D點坐標(biāo)求出l表達(dá)式，令其橫坐標(biāo)為，即可求出點E的坐標(biāo)；（2）利用全等對應(yīng)邊相等，可知FO=FC，所以點F肯定在OC的垂直平分線上，所以點F的縱坐標(biāo)為-4，帶入拋物線表達(dá)式，即可求出橫坐標(biāo)；（3）根據(jù)點P在y軸負(fù)半軸上運動，∴分兩種情況討論，再結(jié)合相似求解.

試題解析：（1）拋物線經(jīng)過點A（－2，0），D（6，－8），

解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

，拋物線的對稱軸為直線．又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（－2，0）．點B的坐標(biāo)為（8，0）

設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為．點D（6，－8）在直線l上，6k=－8，解得．

直線l的函數(shù)表達(dá)式為

點E為直線l和拋物線對稱軸的交點．點E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為，

即點E的坐標(biāo)為（3，－4）

（2）拋物線上存在點F，使≌．點F的坐標(biāo)為（）或（）

（3）分兩種情況：

①當(dāng)時，是等腰三角形．

點E的坐標(biāo)為（3，－4），，過點E作直線ME//PB，交y軸于點M，交x軸于點H，則，點M的坐標(biāo)為（0，－5）．

設(shè)直線ME的表達(dá)式為，，解得，ME的函數(shù)表達(dá)式為，令y=0，得，解得x=15，點H的坐標(biāo)為（15，0）

又MH//PB，，即，

②當(dāng)時，是等腰三角形． 當(dāng)x=0時，，點C的坐標(biāo)為（0，－8），

，OE=CE，，又因為，，，CE//PB

設(shè)直線CE交x軸于點N，其函數(shù)表達(dá)式為，，解得，

CE的函數(shù)表達(dá)式為，令y=0，得，，點N的坐標(biāo)為（6，0）

CN//PB，，，解得

綜上所述，當(dāng)m的值為或時，是等腰三角形．