Question

【題目】如圖，在ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點M、Q分別是邊AB、BC上的動點（點M不與A、B重合），且MQ⊥BC，過點M作MN∥BC．交AC于點N，連接NQ，設(shè)BQ＝x．

（1）是否存在一點Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，并說明理由；

（2）當BM＝2時，求x的值；

（3）當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）存在，當BQ＝MN=時，四邊形BMNQ為平行四邊形，見解析；（2）；（3）當x＝時，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為

【解析】

（1）先證明△AMN∽△ABC，得到＝＝；再設(shè)AM＝3a、則MN＝5a，即BQ＝MN＝5a．然后再證明△MBQ∽△NMA，再運用相似三角形的性質(zhì)列式求出a，進而求得BQ的長；再由MN∥BQ，即可得到BQ＝MN＝，四邊形BMNQ為平行四邊形；

（2）再證△BMQ∽△BCA可得＝，即＝，最后求解即可；

（3）先由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，然后根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計算即可．

解：（1）存在，理由如下：

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴＝＝，

設(shè)AM＝3a，則MN＝5a，

∴BQ＝MN＝5a，

∵MN∥BQ，

∴∠NMQ＝∠MQB＝90°，

∴∠AMN+∠BMQ＝90°，

又∠B+∠BMQ＝90°，

∴∠B＝∠AMN，

又∠MQB＝∠A＝90°，

∴△MBQ∽△NMA，

∴＝，即＝，

解得a＝，

∴BQ＝，

∵MN∥BQ，

∴當BQ＝MN＝，四邊形BMNQ為平行四邊形；

∴當BQ＝MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形，

（2）∵∠BQM＝∠A＝90°，∠B＝∠B，

∴△BMQ∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得x＝；

（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵△QBM∽△ABC，

∴＝＝，即＝＝，

解得，QM＝x，BM＝x，

∵MN∥BC，

∴＝，即＝，

解得，MN＝5﹣x，則四邊形BMNQ的面積＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，

∴當x＝時，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．