【題目】如圖所示,平面直角坐標系xOy中,矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.在不改變矩形ABCD的形狀和大小的情況下,當矩形的頂點A在x軸的正半軸上左右移動時,另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動.
(1)當∠OAD=30°時,求點C的坐標;
(2)設(shè)AD的中點為M,連接OM、MC,若四邊形OMCD的面積為時,求OA的長;
(3)在點A移動過程中是否存在某一位置,使點C到點O的距離有最大值?若存在,求此時的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點的坐標為;(2);(3)存在,的最大值為8.
【解析】
(1)作CE⊥y軸,先證∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=2,DE=,再由∠OAD=30°知OD=AD=3,從而得出點C坐標;
(2)先求出S△DCM=6,結(jié)合S四邊形OMCD=知S△ODM=,S△OAD=9,設(shè)OA=x、OD=y,據(jù)此知x2+y2=36,xy=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=36求得x的值,從而得出答案;
(3)由M為AD的中點,知OM=3,CM=5, OM+CM=8,分兩種情況,即當O、M、C三點不在同一條直線和三點共線時,分別進行判斷解決即可.
(1)如圖1,過點C作CE⊥y軸于點E,
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3,
∴點C的坐標為(2,3+2);
(2)∵M為AD的中點,
∴DM=3,S△DCM=6,
又S邊形OMCD=,
∴S△ODM=,
∴S△OAD=9,
設(shè)OA=x、OD=y,則x2+y2=36,xy=9,
∴x2+y2=2xy,即x=y,
將x=y代入x2+y2=36得x2=18,
解得x=3 (負值舍去),
∴OA=3;
(3)OC的最大值為8,
如圖2,M為AD的中點,
∴OM=3,CM==5,
∴OM+CM=8.
當O、M、C三點不在同一條直線時,在△OCM中,
OC<OM+CM=8.
當A點運動,使得O、M、C三點在同一直線時,
此時OC= OM+CM=8,為OC的最大值.
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【題目】2020年,新型冠狀病毒席卷全球,疫情當前,全國上下砥礪同行.某中學校指導中心為引導未成年人以健康心理、陽光心態(tài)抗擊疫情,積極開展了心理援助工作,并推出“你是我的奧特曼”有獎征稿活動.活動結(jié)束后,該指導中心對參賽學生的獲獎情況進行統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
結(jié)合圖中的相關(guān)數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)參加此次有獎征稿活動的學生有 人,在扇形統(tǒng)計圖中,“三等獎”所對應扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若獲得“一等獎”的學生中有來自七年級,來自九年級,其余來自八年級,學校決定從獲得“一等獎”的學生中任選2名作為代表在線上分享心靈戰(zhàn)“疫”小錦囊,請用列表或畫樹狀圖的方法求所選2名學生中恰好是1名七年級和1名九年級學生的概率.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:
①分別以點C和點D為圓心,大于的同樣的長為半徑作弧,兩弧交于M,N兩點;
②作直線MN,交CD于點E,連接BE.
若直線MN恰好經(jīng)過點A,則下列說法錯誤的是( )
A.ABC60°
B.
C.若AB4,則BE
D.tanCBE
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【題目】某商店銷售型和型兩種學習機,其中用10000元采購型學習機臺數(shù)和用8000元采購型學習機臺數(shù)相等,且一臺型學習機比一臺型學習機進價多100元.
(1)求一臺型和型學習機價格各是多少元?
(2)若購進型學習機共100臺,其中型的進貨量不超過型的2倍,設(shè)購進型學習機臺.
①求的取值范圍.
②已知型學習機售價均是900元/臺,實際進貨時,廠家對型學習機在原進貨價的基礎(chǔ),上下調(diào)元,且限定商店最多購進型學習機60臺,若商店保持同種學習機的售價不變,請你根據(jù)以上信息,求出使這100臺學習機銷售總利潤(元)的最大值.
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【題目】為向明中學提供午餐的某送餐公司計劃每月最后一天推出學生“驚喜套餐”,現(xiàn)做出幾款套餐后打算每班邀請一位學生代表來品嘗.初三(6)班有44人(學號從1~44號),班長設(shè)計了一個推選本班代表的辦法:從一副撲克牌中選取了分別標有數(shù)字1、2、3、4的四張牌.先抽取一張牌記下數(shù)字后,放回洗勻;再抽取一張牌記下數(shù)字,兩個數(shù)字依次組成學生代表的學號.比如第一張抽到1,第二張抽到4,就是學號為14的這個同學作為本班代表.
(1)如果小林的學號為23,請用列表法或畫出樹狀圖的方法,求出他被抽到的概率;
(2)對初三(6)班的每位同學來說,班長設(shè)計的辦法是否公平?請說明理由.
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【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥AC,DC⊥AC,∠B=∠D,,,,點E,F分別是BC,AD的中點.
(1)求證:;
(2)當與滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形是正方形?請證明.
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【題目】某超市一段時期內(nèi)對某種商品經(jīng)銷情況進行統(tǒng)計得到該商品的銷售數(shù)量(件)由基礎(chǔ)銷售量與浮動銷售量兩個部分組成,其中基本銷售量保持不變,浮動銷售量與售價(元/件,)成反比例,銷售過程中得到的部分數(shù)據(jù)如下:
售價 | 8 | 10 |
銷售數(shù)量 | 70 | 58 |
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當該商品銷售數(shù)量為50件時,求每件商品的售價;
(3)設(shè)銷售總額為,求的最大值.
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【題目】如圖,在ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,點M、Q分別是邊AB、BC上的動點(點M不與A、B重合),且MQ⊥BC,過點M作MN∥BC.交AC于點N,連接NQ,設(shè)BQ=x.
(1)是否存在一點Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形,并說明理由;
(2)當BM=2時,求x的值;
(3)當x為何值時,四邊形BMNQ的面積最大,并求出最大值.
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【題目】如圖,已知,點為射線上一個動點,連接,將沿折疊,點落在點處,過點作的垂線,分別交于點當點為線段的三等分點時,的長為_____________
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