Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，BC=2,將△ABC繞點C順針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），得到△DEC，使點E在AB邊上。

（1）如圖1，連接AD，

①求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

② 當(dāng)AE=AD時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；

（2）如圖2，若AE=2BE,求AB的長。

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為36°；（2）AB=2.

【解析】

（1）①先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：AB=CD，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)得：∠BAC=∠ACD，則AB∥CD，可得四邊形ABCD是平行四邊形；
②如圖，在△ADE中，設(shè)∠3=x°，用x分別表示△ADE三個內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程可得x的值，即可得旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）設(shè)BE=y,則AE=2y.AB=3y，證明△BCE∽△BAC，可得結(jié)論．

解：（1）①△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC

∴∠BCE=∠ACD BC=CE CD=CA

∴∠B=∠BEC

∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠ACB=∠BEC

∴∠BCE=∠BAC

∵∠BCE=∠ACD

∴∠BAC=∠ACD

∴AB∥CD

∵CD=AC=AB

∴四邊形ABCD是平行四邊形 ；

②如圖 ∵AE=AD ∴∠1=∠2

由旋轉(zhuǎn)可得 ∠3=∠4

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC AB∥CD

∴∠DAC=∠ACB=∠B ∠1=∠4

在△ADE中，設(shè)∠3=x° 則∠4=x°，∠1=∠2=x°，∠B=90°-

∵∠1+∠EAD+∠2=180°

∴x+(x+90-)+x=180

∴x=36 ∴∠3=36°

∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為36° ；

（2）∵∠B=∠B，∠BCE=∠3

∴△BCE∽△BAC ∴

設(shè)BE=y,則AE=2y，AB=3y

∴ 解得 y=

∴AB=.

故答案為：（1）①詳見解析；②旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為36°；（2）AB=2.