【題目】如圖,在矩形中, =8, =6,動點從點出發(fā),沿以2 的速度向終點勻速運動,同時點從點出發(fā),沿→以4 的速度向點勻速運動,到達點后,繼續(xù)沿→以3 的速度向終點勻速運動.連結,以、為邊作□,連結交于點,設點的運動時間為(),□與矩形重疊部分圖形的面積為.
(1)當點在點上,△是等腰三角形時,求的值.
(2)當點在邊上,△與△相似時,求的值.
(3)求與之間的函數關系式.
(4)當△是等腰三角形時,直接寫出的值.
【答案】(1) ;(2);(3)當時, ; 當時, ;當時, (4), , .
【解析】試題分析:
(1) 由于△APQ為等腰直角三角形,所以AQ=AP. 根據對已知條件和動點的運動過程的分析,可以用x表示出線段AQ與AP的長. 根據AQ=AP可以得到一個關于x的方程,解這個方程即可得到滿足條件的x值.
(2) 題干中給出的相似三角形有△CFQ∽△CAD與△CFQ∽△CDA兩種情況. 需要據此分兩種情況求解. 在第一種情況下,可以判定四邊形APQD為平行四邊形. 利用x表示出線段DQ與AP的長,可以得到一個關于x的方程,解這個方程即可得到滿足條件的x值. 在第二種情況下,可以得到△CFQ與△AFP均為直角三角形. 在這兩個直角三角形中,利用銳角三角函數可以得到線段CQ,AP以及AC的長度關系. 利用此關系列出方程求解即可.
(3) 分析題意可知,在PQ⊥AB之前,平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為梯形BPQC的面積;在PQ⊥AB之后,平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積為平行四邊形BPQE的面積,但是平行四邊形BPQE面積的變化規(guī)律與點Q在線段CD還是AD上有關. 當點Q在線段CD上時,平行四邊形BPQE的高不變;當點Q在線段AD上時,平行四邊形BPQE的高隨x的增大而減小. 根據上述分析,分三種情況討論即可.
(4) 綜合分析可知,△APF為等腰三角形有三種情況. 第一種情況下,AP=FP. 通過計算可以發(fā)現,當點Q在CD上時,線段AF的長是一個定值. 因此,通過等腰三角形“三線合一”的性質構造直角三角形,利用線段AF的長和銳角三角函數可以獲得線段AP的長,進而獲得x的值. 第二種情況下,AF=AP. 由線段AF的長容易得到線段AP的長,進而獲得x的值. 第二種情況下,AF=PF. 在這種情況下,可以通過銳角三角函數的定義,利用線段AQ和AP的長度表達式,列出方程求解.
試題解析:
(1) 根據題意畫出下列示意圖.
∵△APQ為等腰直角三角形,
又∵在矩形ABCD中,∠BAD=90°,
∴AP=AQ.
∵點P的運動時間為x (s),點P的運動速度為2 (cm/s),
∴AP=2x (cm).
∵當點Q在線段AD上時,點Q的運動路程為CD+DQ,
∵在線段CD上,點Q的運動速度為4 (cm/s),
又∵在矩形ABCD中,CD=AB=8cm,
∴點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s).
∵點Q與點P同時開始運動,
∴點Q的運動時間為x (s),
∵在線段AD上,點Q的運動速度為3 (cm/s),
∴DQ=3(x-2) (cm),
∵在矩形ABCD中,AD=BC=6cm,
∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).
由AP=2x (cm),AQ =6-3(x-2) (cm),AP=AQ,可列關于x的方程:
2x=6-3(x-2),
解之,得
(s).
∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s),點P與點Q完成全部運動均需要4 (s),
∴在本小題中, ,
∴符合題意.
故當點Q在邊AD上,△APQ是等腰直角三角形時,x的值為.
(2) 分析題意可知,本小題應分以下兩種情況分別求解.
①當△CFQ∽△CAD時,
∵△CFQ∽△CAD,
∴∠CFQ=∠CAD,
∴FQ∥AD,
∵在矩形ABCD中,AB∥CD,即AP∥DQ,
∴四邊形APQD為平行四邊形,
∴AP=QD.
∵在線段CD上,點Q的運動速度為4 (cm/s),點Q的運動時間為x (s),
∴CQ=4x (cm),
∴QD=CD-CQ=8-4x (cm),
由AP=2x (cm),QD=8-4x (cm),AP=QD,可列關于x的方程:
2x=8-4x,
解之,得
(s).
∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s),
∴在本小題中, ,
∴符合題意.
②當△CFQ∽△CDA時,
∵△CFQ∽△CDA,
∴∠CFQ=∠CDA,
∵在矩形ABCD中,∠CDA=90°,
∴∠CFQ=∠CDA=90°,
∴△CFQ與△AFP均為直角三角形.
∵AD=6cm,CD=8cm,
∴在Rt△CDA中, (cm),
∴在Rt△CDA中, .
∵CQ=4x (cm),
∴在Rt△CFQ中, (cm).
∵在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠PAF=∠ACD,
∵AP=2x (cm),
∴在Rt△AFP中, (cm).
由AF+CF=AC,可列關于x的方程:
,
解之,得
(s).
∵在本小題中, ,
∴不符合題意.
綜上所述,當點Q在邊CD上,△CFQ與△CAD相似時,x的值為.
(3) ∵當PQ⊥AB時,AP=QD,
又∵AP=2x (cm),QD=8-4x (cm),
∴ (s).
又∵點Q完成在線段CD上的運動需要2 (s),
∴本小題應分別在, , 三種情況下求解.(示意圖如下)
①當時,平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為梯形BPQC的面積.(如圖①)
∵AB=8(cm),AP=2x(cm),
∴PB=8-2x(cm),
∵CQ=4x(cm),PB=8-2x(cm),BC=6(cm),
∴.
②當時,平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖②)
∵QE=PB=8-2x(cm),BC=6(cm),
∴.
③當時,平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分的面積y為平行四邊形BPQE的面積.(如圖③)
∵DQ=3(x-2) (cm),
∴AQ=AD-DQ=6-3(x-2) (cm).
∵PB=8-2x(cm),AQ=6-3(x-2) (cm),
∴.
綜上所述,y與x之間的函數關系式為:
①當時, ;
②當時, ;
③當時, .
(4) 當△APF為等腰三角形時,x的值為, , . 求解過程如下.
綜合分析可知,△APF為等腰三角形有如下圖所示的三種情況.
①若在圖①所示的情形下,則AP=FP.
過點P作PG⊥AF,垂足為G.
∵在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴當點Q在CD上時,△APF∽△CQF,
∵當點Q在CD上時,CQ=4x(cm),
又∵AP=2x (cm),
∴當點Q在CD上時, ,
∴當點Q在CD上時,
∵AC=10 (cm),
∴當點Q在CD上時, (cm).
∵AP=FP,PG⊥AF, (cm),
∴ (cm),
∵,
∴在Rt△AGP中, (cm),
∵AP=2x (cm),
∴ (s).
②若在圖②所示的情形下,則AP=AF.
∵點Q在CD上,
∴ (cm),
∵AP=2x (cm),
∴ (s).
③若在圖③所示的情形下,則AF=PF.
∵AF=PF,
∴在△AFP中,∠FPA=∠PAF.
∵,
∴.
∵AP=2x (cm),AQ=6-3(x-2) (cm),
∴在Rt△PAQ中, ,
∴ (s).
綜上所述,當△APF為等腰三角形時,x的值為, , .
科目:初中數學 來源: 題型:
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科目:初中數學 來源: 題型:
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(1)經過多長時間△PAQ的面積為2cm?
(2)△PAQ的面積能否達到3 cm?
(3)經過多長時間,P、Q兩點之間的距離為cm?
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科目:初中數學 來源: 題型:
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