Question

4．如圖，△ABC中，點(diǎn)O在邊BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N．
求證：BM=CN．

Answer 1

分析 連DB、DC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得DM=DN；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得DB=DC；再根據(jù)“HL”定理證明Rt△EFB≌Rt△EGC，從而得BM=CN．

解答 證明：連接BD，CD，如圖，
∵O是BC的中點(diǎn)，DO⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，利用了三角形全等的判定和性質(zhì)解題．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．