Question

【題目】如圖，圓E是三角形ABC的外接圓， ∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分別以BC、AO所在直線建立x軸.

（1）求三角形ABC的外接圓直徑；

（2）求過ABC三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）設(shè)P是（2）中拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且三角形AOP為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？（只需寫出個(gè)數(shù)，無需解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為y=-x2+x+6．（3）滿足條件的點(diǎn)P有6個(gè)．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB的長，進(jìn)而得到結(jié)論．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．利用勾股定理求出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（3）①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個(gè)點(diǎn)P滿足條件．②當(dāng)PA⊥OA時(shí)，有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．③當(dāng)PO⊥OA時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

試題解析：解：（1）如圖1中，連接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，∴EB=EC=，∴⊙E的直徑為．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON== =，OM=NE=OC﹣CM=，在Rt△EN中，AN===，∴OA=AN+ON=6，∴A（0，6），B（﹣2，0），C（3，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣3），把（0，6）的坐標(biāo)代入得a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

（3）如圖3中，①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

②當(dāng)PA⊥OA時(shí)，有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

③當(dāng)PO⊥OA時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P滿足條件．

所以滿足條件的點(diǎn)P有6個(gè)．