【題目】在平面直角坐標系中,某個函數(shù)圖象上任意兩點的坐標分別為(﹣t,y1)和(ty2)(其中t為常數(shù)且t0),將x<﹣t的部分沿直線yy1翻折,翻折后的圖象記為G1;將xt的部分沿直線yy2翻折,翻折后的圖象記為G2,將G1G2及原函數(shù)圖象剩余的部分組成新的圖象G

例如:如圖,當(dāng)t1時,原函數(shù)yx,圖象G所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y

1)當(dāng)t時,原函數(shù)為yx+1,圖象G與坐標軸的交點坐標是 

2)當(dāng)t時,原函數(shù)為yx22x

①圖象G所對應(yīng)的函數(shù)值yx的增大而減小時,x的取值范圍是 

②圖象G所對應(yīng)的函數(shù)是否有最大值,如果有,請求出最大值;如果沒有,請說明理由.

3)對應(yīng)函數(shù)yx22nx+n23n為常數(shù)).

n=﹣1時,若圖象G與直線y2恰好有兩個交點,求t的取值范圍.

②當(dāng)t2時,若圖象Gn22≤xn21上的函數(shù)值yx的增大而減小,直接寫出n的取值范圍.

【答案】1)(2,0);(2)①﹣x1x;②圖象G所對應(yīng)的函數(shù)有最大值為;(3)①;②nn

【解析】

1)根據(jù)題意分別求出翻轉(zhuǎn)之后部分的表達式及自變量的取值范圍,將y=0代入,求出x值,即可求出圖象G與坐標軸的交點坐標;

2)畫出函數(shù)草圖,求出翻轉(zhuǎn)點和函數(shù)頂點的坐標,①根據(jù)圖象的增減性可求出yx的增大而減小時,x的取值范圍,②根據(jù)圖象很容易計算出函數(shù)最大值;

(3)①將n=﹣1代入到函數(shù)中求出原函數(shù)的表達式,計算y=2時,x的值.據(jù)(2)中的圖象,函數(shù)與y=2恰好有兩個交點時t大于右邊交點的橫坐標且-t大于左邊交點的橫坐標,據(jù)此求解.

②畫出函數(shù)草圖,分別計算函數(shù)左邊的翻轉(zhuǎn)點A,右邊的翻轉(zhuǎn)點C,函數(shù)的頂點B的橫坐標(可用含n的代數(shù)式表示),根據(jù)函數(shù)草圖以及題意列出關(guān)于n的不等式求解即可.

1)當(dāng)x時,y,

當(dāng)x時,翻折后函數(shù)的表達式為:y=﹣x+b,將點(,)坐標代入上式并解得:

翻折后函數(shù)的表達式為:y=﹣x+2,

當(dāng)y0時,x2,即函數(shù)與x軸交點坐標為:(2,0);

同理沿x=﹣翻折后當(dāng)時函數(shù)的表達式為:y=﹣x,

函數(shù)與x軸交點坐標為:(00),因為所以舍去.

故答案為:(20);

2)當(dāng)t時,由函數(shù)為yx22x構(gòu)建的新函數(shù)G的圖象,如下圖所示:

AB分別是t=﹣、t的兩個翻折點,點C是拋物線原頂點,

則點AB、C的橫坐標分別為﹣1、,

①函數(shù)值yx的增大而減小時,﹣x1x,

故答案為:﹣x1x;

②函數(shù)在點A處取得最大值,

x=﹣,y=(﹣22×(﹣)=,

答:圖象G所對應(yīng)的函數(shù)有最大值為;

3n=﹣1時,yx2+2x2,

①參考(2)中的圖象知:

當(dāng)y2時,yx2+2x22,

解得:x=﹣1±,

若圖象G與直線y2恰好有兩個交點,則t1-t>,

所以;

②函數(shù)的對稱軸為:xn

yx22nx+n230,則xn±,

當(dāng)t2時,點A、BC的橫坐標分別為:﹣2,n,2,

當(dāng)xny軸左側(cè)時,(n0),

此時原函數(shù)與x軸的交點坐標(n+,0)在x2的左側(cè),如下圖所示,

則函數(shù)在AB段和點C右側(cè),

故:﹣2xn,即:在﹣2n22xn21n,

解得:n;

當(dāng)xny軸右側(cè)時,(n0),

同理可得:n;

綜上:nn

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