Question

【題目】如圖1，在中，，，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)時(shí)， ；②當(dāng)時(shí)， ．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明．

（3）問題解決

當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）無變化，理由見解析； （3）或．

【解析】

（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，設(shè)AB=1，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少；

②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，根據(jù)根據(jù)平行線分線段成比例定理可得 ，即求出的值是多少即可；
（2）首先根據(jù)圖1判定，再判斷出，判斷出∽，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案；
（3）分兩種情況分析，E點(diǎn)在線段AB的延長線上和E點(diǎn)在線段AB上，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

（1）∵，，

∴

①當(dāng)時(shí)，

∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)

∴AE=，BD=1

∴

故答案為：

②當(dāng)時(shí)，如圖：可得：AB∥DE

∴

∴

故答案為：

（2）無變化．

在圖1中，∵是的中位線，

∴

∴，．

如圖2，∵在旋轉(zhuǎn)過程中形狀大小不變，

∴仍然成立

又∵，

∴∽

∴

在中，

∴

∴

∴的大小不變

（3）如圖3，當(dāng)E點(diǎn)在線段AB的延長線上，

∵AB=2，則BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB+BE=
由（2），可得：

∴

∴

如圖4，E點(diǎn)在線段AB上，

∵AB=2，則BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB-BE=

由（2），可得：

∴

∴

∴BD的長為或．