Question

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們探究了角平分線(xiàn)的作法．下面給出三個(gè)同學(xué)的作法：

小紅的作法

如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過(guò)點(diǎn)O作MN的垂線(xiàn)，垂足為P，則射線(xiàn)OP便是∠AOB的平分線(xiàn)．

小明的作法 如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線(xiàn)OC便是∠AOB的平分線(xiàn)．

小剛的作法 如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過(guò)點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線(xiàn)，交點(diǎn)為P，則射線(xiàn)OP便是∠AOB的平分線(xiàn)．

請(qǐng)根據(jù)以上情境，解決下列問(wèn)題

(1)小紅的作法依據(jù)是 ．

(2)為說(shuō)明小明作法是正確的，請(qǐng)幫助他完成證明過(guò)程．

證明：∵OM＝ON，OC＝OC， ，

∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依據(jù))

(3)小剛的作法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形三線(xiàn)合一定理；（2）CM=CN，邊邊邊；（3）正確，證明見(jiàn)詳解．

【解析】

（1）利用等腰三角形三線(xiàn)合一定理，即可得到結(jié)論成立；

（2）利用SSS，即可證明△OMC≌△ONC，補(bǔ)全條件即可；

（3）利用HL，即可證明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到結(jié)論成立．

解：（1）∵OM=ON，

∴△OMN是等腰三角形，

∵OP⊥MN，

∴OP是底邊上的高，也是底邊上的中線(xiàn)，也是∠MON的角平分線(xiàn)；

故答案為：等腰三角形三線(xiàn)合一定理；

（2）證明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，

∴△OMC≌△ONC（邊邊邊）；

∴∠MOC=∠NOC，

∴OC平分∠AOB；

故答案為：CM=CN，邊邊邊；

（3）小剛的作法正確，證明如下：

∵PM⊥OA，PN⊥OB，

∴∠OMP=∠ONP=90°，

∵OM=ON，OP=OP，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），

∴∠MOP=∠NOP，

∴OP平分∠AOB；

小剛的作法正確．