如圖,在矩形OABC中,點A(0,10),C(8,0).沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處.分別以O(shè)C, OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系,拋物線經(jīng)過O,D,C三點.
(1)求D的的坐標及拋物線的解析式;
(2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當點P運動到點C時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當t為何值時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似?
(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.
(1);(2)或;(3)存在符合條件的M、N點,且它們的坐標為:①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4,),N3(4,).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)折疊圖形的軸對稱性,△CED、△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的長,進而可得到AE的長;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長.進一步能確定D點坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值.
(3)由于以M,N,C,E為頂點的四邊形,邊和對角線都沒明確指出,所以要分情況進行討論:①EC做平行四邊形的對角線,那么EC、MN必互相平分,由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上,所以M點一定是拋物線的頂點;
②EC做平行四邊形的邊,那么EC、MN平行且相等,首先設(shè)出點N的坐標,然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標差表示出M點坐標,再將點M代入拋物線的解析式中,即可確定M、N的坐標.
試題解析:(1)∵四邊形ABCO為矩形,∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.由題意,△BDC≌△EDC.∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.由勾股定理易得EO=6.∴AE=10﹣6=4,設(shè)AD=,則BD=ED=,由勾股定理,得,解得,,∴AD=3.∵拋物線過點D(3,10),C(8,0),O(0,0)∴,解得,∴拋物線的解析式為:.
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,∴∠DEA=∠OCE,由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.①當∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,∴=,即,解得.②當∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,∴=,即,解得.∴當或時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似.
(3)假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論:①EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點;
則:M(4,);而平行四邊形的對角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N(4,);
②EC為平行四邊形的邊,則ECMN,設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標為:①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4,),N3(4,).
考點:1.二次函數(shù)綜合題;2.動點型;3.分類討論.
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