Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，連接CD交OB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB延長線上一點(diǎn)，CF＝EF．

（1）求證：FC是⊙O的切線；

（2）若CF＝5，，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AO＝.

【解析】

（1）連接OD，利用點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)得出∠AOD與∠BOD是直角，之后通過等量代換進(jìn)一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°從而證明結(jié)論即可；

（2）通過得出＝，再證明△ACF∽△CBF從而得出AF＝10，之后進(jìn)一步求解即可.

證明：連接OD，

∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，

∴∠AOD=∠BOD=90°.

∴∠ODC+∠OED=90°.

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD.

又∵CF=EF，

∴∠FCE=∠FEC.

∵∠FEC=∠OED，

∴∠FCE=∠OED.

∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.

即FC⊥OC.

∴FC是⊙O的切線.

（2）∵tanA＝，

∴在Rt△ABC中，＝.

∵∠ACB＝∠OCF＝90°，

∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.

∴△ACF∽△CBF，

∴＝＝＝.

∴AF＝10.

∴CF2＝BF·AF.

∴BF＝.

∴AO＝＝.