Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以為一邊作等邊三角形，點(diǎn)在第二象限．

(Ⅰ)如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．

①如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，與分別交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，求與公共部分面積的值；

②若為線段的中點(diǎn)，求長的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(Ⅱ)①；②．

【解析】

(Ⅰ)利用的坐標(biāo)，求解 利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案；

(Ⅱ) ①過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求解,的面積，利用，可得答案；②如圖，在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，延長至，使 則設(shè)，得到：所以：表示點(diǎn)與之間的距離，連接交圓于,當(dāng)在的下方，最短，反之最長，從而可得答案．

解：(Ⅰ)，

．

在中，，

．

．

是等邊三角形，

．

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(Ⅱ)①過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得，

．

．

．

，

．

在中，，

．

．

，

．

在中，，

．

在中，，

．

．

．

②如圖，在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

延長至，使 則

設(shè)，則由勾股定理得：

為的中點(diǎn)，

所以：表示點(diǎn)與之間的距離，連接交圓于,

當(dāng)在的下方，最短，反之最長，

設(shè)為

解得：

為：

解得： 或

當(dāng)在的下方時(shí)，坐標(biāo)為：

同理：當(dāng)在的上方時(shí)，