Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P以每秒一個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿對(duì)角線AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB向點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）．

（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC的長是 ；

（2）當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（3）以BQ為直徑的圓交PQ于點(diǎn)M，當(dāng)M為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）5﹣t；（2）當(dāng)t=或t=或t=時(shí)，△PCQ為等腰三角形；（3）當(dāng)M為PQ的中點(diǎn)時(shí)，t的值為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)題意用t表示出AP，結(jié)合圖形計(jì)算即可；

（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）連接BP、BM，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一得到BP=BQ，根據(jù)勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．

解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，

∴AC=5，

∵點(diǎn)P的速度是每秒一個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴AP=t，

則PC=AC﹣AP=5﹣t，

故答案為：5﹣t；

（2）當(dāng)CP=CQ時(shí)，t=5﹣t，

解得t=，

當(dāng)QP=QC時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AC于H，如圖1，

則PH=HC=PC=（5﹣t），QC=t，

∵QH⊥AC，∠B=90°，

∴△CHQ∽△CBA，

∴=，即=，

解得t=，

當(dāng)PQ=PC時(shí)，如圖2，

過點(diǎn)P作PN⊥QC于N，

則NC=NQ=QC=t，

∵△CPN∽△CAB，得

=，即=，

解得t=，

綜上所述，當(dāng)t=或t=或t=時(shí)，△PCQ為等腰三角形；

（3）連接BP、BM，如圖3，則∠BMQ=90°，

∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，

∴BP=BQ，

過點(diǎn)P作PK⊥AB于K，

∵AP=t，

∴PK=t，AK=t，

∴BK=3﹣t，

在Rt△BPK中，PB2=PK2+BK2=（3﹣t）2+（t）2，又BQ=4﹣t，

∴（4﹣t）2=（3﹣t）2+（t）2，

解得t=．

∴以BQ為直徑的圓交PQ于點(diǎn)M，當(dāng)M為PQ的中點(diǎn)時(shí)，t的值為．