Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標設(shè)計的主要依據(jù)．

（1）請利用這個圖形證明勾股定理；

（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；

（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x＝y=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．

【解析】

1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．
（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)證明即可．
（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時，該矩形面積最大以及其最大面積．

解：（1）因為邊長為c的正方形面積為c2，

它也可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為（a– b）的小正方形組成的，

它的面積為4×ab＋(a– b)2＝a2＋b2，

所以c2＝a2＋b2．

（2）∵(a– b)2≥0，

∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．

（3）依題意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，長方形的面積為xy，

由（2）的結(jié)論知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，

∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．