Question

【題目】[問(wèn)題提出]

在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，除根據(jù)一般三角形全等判定定理外，還有"" 方法.類似的,我們對(duì)直角三角形相似的條件進(jìn)行探索。

(1) [提出猜想]

除根據(jù)一般三角形相似判定的條件外，請(qǐng)你提出類似于""的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述為: .

(2) [初步思考]

其中，我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:如圖1,在和中，,若 ,則， 請(qǐng)給予證明.

(3) [深入研究]

若圖2中的,其他條件不變，兩個(gè)三角形是否相似?試?yán)�用以上探究的結(jié)論解決問(wèn)題,若相似請(qǐng)證明,若不相似，請(qǐng)畫出反例.

Answer 1

【答案】(1)如果兩個(gè)直角三角形的一組直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似；(2)，證明見解析；(3)成立,證明見解析.

【解析】

（1）借助“HL”直接得出結(jié)論；

（2）先構(gòu)造出△A'C'B∽△ACB，進(jìn)而判斷出Rt△A'C'B≌Rt△DFE即可得出結(jié)論；

（3）先構(gòu)造出△AGC∽△DHF，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．

（1）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似，

故答案為：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；

（2）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若，則△ABC∽△DEF．

理由：在BA上取一點(diǎn)A'使BA'=DE，過(guò)點(diǎn)A'作AC'∥AC交BC于C'，

∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F，△A'C'B∽△ACB，

在Rt△A'C'B和Rt△DFE中，，

∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE（HL），

∵△A'C'B∽△ACB，

∴△DFE∽△ACB；

故答案為:；

（3）成立，如圖2，

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF交EF的延長(zhǎng)線于H，

∴∠G=∠H=90°，

∵∠ACB=∠DFE，

∴∠ACG=∠DFH，

∴△AGC∽△DHF，

∴∠BAC=∠FDH，

用（2）的結(jié)論得，△ABG∽△DEH，

∴∠B=∠E，∠BAG=∠EDH，

∴∠BAC=∠EDF，

∵∠B=∠E，

∴△ABC∽△DEF