【題目】[問(wèn)題提出]

在判定兩個(gè)三角形全等時(shí),除根據(jù)一般三角形全等判定定理外,還有"" 方法.類似的,我們對(duì)直角三角形相似的條件進(jìn)行探索。

(1) [提出猜想]

除根據(jù)一般三角形相似判定的條件外,請(qǐng)你提出類似于""的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述為: .

(2) [初步思考]

其中,我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:如圖1,中,, ,, 請(qǐng)給予證明.

(3) [深入研究]

若圖2中的,其他條件不變,兩個(gè)三角形是否相似?試?yán)靡陨咸骄康慕Y(jié)論解決問(wèn)題,若相似請(qǐng)證明,若不相似,請(qǐng)畫出反例.

【答案】(1)如果兩個(gè)直角三角形的一組直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例,則這兩個(gè)三角形相似;(2),證明見解析;(3)成立,證明見解析.

【解析】

1)借助“HL”直接得出結(jié)論;

2)先構(gòu)造出A'C'B∽△ACB,進(jìn)而判斷出RtA'C'BRtDFE即可得出結(jié)論;

3)先構(gòu)造出AGC∽△DHF,借助(2)的結(jié)論即可得出結(jié)論.

1)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似,

故答案為:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似;

2)在RtABCRtDEF中,∠C=F=90°,若,則ABC∽△DEF

理由:在BA上取一點(diǎn)A'使BA'=DE,過(guò)點(diǎn)A'AC'ACBCC',

∴∠A'C'B=C=90°=F,A'C'B∽△ACB,

RtA'C'BRtDFE中,,

RtA'C'BRtDFEHL),

∵△A'C'B∽△ACB,

∴△DFE∽△ACB;

故答案為:;

3)成立,如圖2,

過(guò)點(diǎn)AAGBCBC的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)DDHEFEF的延長(zhǎng)線于H,

∴∠G=H=90°,

∵∠ACB=DFE,

∴∠ACG=DFH,

∴△AGC∽△DHF

∴∠BAC=FDH,

用(2)的結(jié)論得,ABG∽△DEH,

∴∠B=E,∠BAG=EDH,

∴∠BAC=EDF,

∵∠B=E,

∴△ABC∽△DEF

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