Question

如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA，OC分別在x，y軸上，點(diǎn)D在OA上，且CD=AD．
（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求經(jīng)過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；
（3）在上述拋物線上位于x軸下方的圖象上，是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積等于矩形OABC的面積的

3

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？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件易得OC，OD的長(zhǎng)，就可以求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（2）B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)容以得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）矩形OABC的面積可以求出．△PBC的底邊BC已知，可以設(shè)BC邊上的高線，就可表示出三角形的面積．根據(jù)△PBC的面積等于矩形OABC的面積的

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，就可以得到關(guān)于BC邊上的高線的方程，就可以解出高線長(zhǎng)．進(jìn)而求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值．得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．把P點(diǎn)的坐標(biāo)與拋物線的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較就可以．

解答：解：
（1）設(shè)OD=x，則CD=AD=8-x，
∴（8-x）²=x²+16，
得x=3，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），又點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），
設(shè)直線CD的關(guān)系式為y=kx+b，
把D，C的坐標(biāo)代入關(guān)系式，有

b=4 3k+b=0

，
∴k=-

4

3

．
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式是y=-

4

3

x+4．

（2）由題意得B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，4），（0，4），（3，0），
設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，則

64a+8b+c=4 c=4 9a+3b+c=0

解得a=

4

15

，b=-

32

15

，c=4．
拋物線的關(guān)系式為y=

4

15

x²-

32

15

x+4．

（3）在拋物線上不存在點(diǎn)P，使△PBC的面積等于矩形OABC的面積的

3

5

．
由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，以拋物線頂點(diǎn)為P的△PBC面積最大，
由y=

4

15

x²-

32

15

x+4=

4

15

（x-4）-

4

15

可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

4

15

），
則△PBC的高為4+|-

4

15

|=

64

15

，S_△PBC=

1

2

×8×

64

15

=

256

15

≈17.1，
S_矩形OABC=4×8=32，32×

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=19.2，
因?yàn)?7.1＜19.2，
所以在拋物線上位于x軸下方的圖象上不存在點(diǎn)P，使△PBC的面積等于矩形OABC面積的

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)與形的結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．