Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是拋物線上的一動點（不與B，C兩點重合），△BEC面積記為S，S取何值時，對應(yīng)的點E有且只有兩個？

（3）直線x=2交直線BC于點M，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）當(dāng)S>3時對應(yīng)的E點有且只有2個.（3）存在，點P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣），（5，﹣），（﹣1，）．

【解析】

（1）先求出點B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，當(dāng)點E在BC上方運動時，求出△BEC的面積的最大值，此時存在3個點；當(dāng)面積大于3時，點E只能在BC的下方運動，對應(yīng)的點E有且只有兩個，即可解答；

（3）根據(jù)題意，先求出點A和點M的坐標(biāo)，以及點Q的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答；可分為三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AM為對角線時；②當(dāng)AQ是對角線時；③當(dāng)MQ是對角線時；即可解決問題.

解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（4，0），

∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴，

解得：，

∴；

（2）如圖1，當(dāng)點E在直線BC上方拋物線上的一動點時，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F.

當(dāng)點E在直線BC上方拋物線上的一動點時，

設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，），

則點M的坐標(biāo)是（x，），

∴EM＝﹣（）＝，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝

＝

＝

＝；

∵，

∴當(dāng)x＝2時，即點E的坐標(biāo)是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

∴當(dāng)S>3時對應(yīng)的E點有且只有2個；

（3）根據(jù)題意，拋物線的解析式為：，

∴拋物線的對稱軸為：，

∴點Q的橫坐標(biāo)為1；

當(dāng)時，代入直線方程，得：，

∴點M坐標(biāo)為：（，），

令，解得：或，

∴點A為，點C為（4，0）；

∵由以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，有以下情況：

①當(dāng)AM為對角線時，如圖：

此時AM中點的橫坐標(biāo)為：（，），

∵點Q的橫坐標(biāo)為1，則點P的橫坐標(biāo)為，

把代入拋物線得：，

∴點P坐標(biāo)為：（，）；

②當(dāng)AQ是對角線時，如圖：

此時AQ中點的橫坐標(biāo)為：，

∵點M的橫坐標(biāo)為2，則點P的橫坐標(biāo)為；

把代入拋物線得：，

∴點P為：（，）；

③當(dāng)MQ是對角線時，如圖：

此時MQ中點的橫坐標(biāo)為：，

∵點A的橫坐標(biāo)為，則點P的橫坐標(biāo)為5；

把代入拋物線解析式得：，

∴點P為：（，）；

綜合上述，點P的坐標(biāo)是：（﹣1，）或（﹣3，）或（5，）．