Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（Ⅰ）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得 ，
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+2x+6，
∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（Ⅱ）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)F（x，﹣ x2+2x+6），則FG=|﹣ x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴ = ，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6﹣x，
∴ = ，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有 = ，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1， ）；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有 =﹣ ，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣ ）；
綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1， ）或（﹣3，﹣ ）；
（Ⅲ）如圖2，設(shè)對(duì)稱軸MN、PQ交于點(diǎn)O′，

∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n），
∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣ x2+2x+6的圖象上，
∴n=﹣ （2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣ ，
∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2 ）或（2，﹣2﹣2 ）．
【解析】（Ⅰ）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點(diǎn)D即可；
（Ⅱ）過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）由于M、N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可知點(diǎn)P為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．