Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．把沿過(guò)點(diǎn)P的直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，折痕為．

（1）若點(diǎn)D恰好在邊上．

①如圖1，當(dāng)時(shí)，連結(jié)，求證：．

②如圖2，當(dāng)，且，，求與的周長(zhǎng)差．

（2）如圖3，點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若直線l始終垂直于，的面積是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）12；（3）不變，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得BQ=QC，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②先根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)的求法即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DP=BP，AP=CP，再根據(jù)SAS證明△DPA≌△BPC，得出S△ACD=S△ABC，即可得出結(jié)論．

（1）①由折疊的性質(zhì)可知：BQ=DQ，∠BQP=∠PQD．

∵PQ∥AC，∴∠BQP=∠C，∠PQD=∠QDC，

∴∠C=∠QDC，∴DQ=CQ，

∴BQ=QC．

∵AB=AC，∴AQ⊥BC．

②設(shè)AP=x，則AB=AC=x+3．

∵AC=AD+DC=AD+2，∴AD=x+1．

∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，

∴，

∴，

解得：x=4．

△ABC的周長(zhǎng)-△CDQ的周長(zhǎng)=AB+AC+BC-（DC+CQ+DQ）

=AB+AC+BC-（DC+CQ+BQ）

=AB+AC+BC-（DC+BC）

=AB+AC-DC

=2AB-DC

=2（x+3）-2

=2x+4

=2×4+4

=12．

（2）S△ACD不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：

連接BD，

∵B是關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，

∴ ,

∴

∵S△ACD=S△ABC是固定不變的，

∴S△ACD不會(huì)發(fā)生變化．