【題目】如圖1,在中,弦,垂足為點,連接、,

1)求證:

2)如圖2,過點,垂足為點,求證:

3)如圖3,在(2)的條件下,延長交于點,過點,垂足為,交,若,求的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)連接OBOD,利用圓周角定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果;

2)過OOTBCT,連接OB,OC,在ED上找點G,使得CE=EG,連接BG,證明,得到OH=BT,設(shè)∠BDC=α,利用垂直平分線的性質(zhì)得到BC=BG,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得到BC=BG=GD,從而可得結(jié)果;

3)在AF上作點Q,使得AQ=BQ,連接BQ,OQ,過BBWAF于點W,設(shè)BF=x,則AF=3x,推出△QBF為直角三角形,利用勾股定理得出AQ、BQ、BWFW、AW的表達式,從而得到,,設(shè)BE=n,則DE=3nEG=3n-12,在△BEG中,利用勾股定理求出n的值,得到BE、DE、EG、EC的值,利用三角函數(shù)算出NE的長,再證明△CBE∽△ADE,得到,算出AE,從而得到AN,最后在△AMN利用勾股定理求出MN的長.

解:(1)連接OBOD,

AD=AB,

∴弧AC=AD,

∴∠AOB=AOD,

∴∠OAB=OBA,∠OAD=ODA,

,

,

;

2)過OOTBCT,連接OB,OC,在ED上找點G,使得CE=EG,連接BG

∵∠COB=2CAB,∠CAB=CDB,∠AOB=AOD,,

2OAH=2BAO=COB,

OC=OB,OTBC

∴∠OAH=BOT

又∵∠OTB=OHA=90°,OB=OA,

,

OH=BT,

BC=2BT,

2OH=BC,

設(shè)∠BDC=α,

∴∠BCD=BAD=2α,

CE=GE,ABCD,

BC=BG,則∠BGC=BCG=2α,

∵∠BDC=α

∴∠GBD=α,

BC=BG=GD

DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH

3)在AF上作點Q,使得AQ=BQ,連接BQ,OQ,過BBWAF于點W,

AQ=BQ,OA=OB,

OQ垂直平分AB,

∴∠QAB=QBA,

AF=3BF,設(shè)BF=x,則AF=3x,

ABCD

∴∠ACD+CAB=90°,

∵∠ACD=ABD,

∴∠ABD+ABQ=90°,

∴△QBF為直角三角形,

設(shè)AQ=QB=a,則FQ=3x-a,在△QBF中,

,解得:

AQ=BQ=QF=,

BW=BF×BQ÷QF=,

FW=,

AW=AF-FW=

,

由(2)知:BC=BG=DG=12,CE=EG,

BE=ED·tanBDC,

設(shè)BE=n,則DE=3n,EG=3n-12,

在△BEG中,

解得:n=0(舍),

BE=,DE=,EG=EC=,

在△DMC和△BDE中,

MCD=EBD,∠DMC=DEB,

∴∠MDC=EDB,

tanMDC=tanEDB=tanCAB=,

NE=DE×=

∵∠BCE=BAD,∠CBE=ADE,

∴△CBE∽△ADE,

,

AE=3CE=

AN=AE-NE=,

∴設(shè)MN=m,則AM=3m,在△AMN中,

,

解得:m=(舍)

.

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氣溫x/攝氏度

0

5

10

15

20

音速y/(/)

331

334

337

340

343

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