Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．

（1）用尺規(guī)作AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）

（2）求證：BF=2CF．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作出EF垂直平分AC即可；
（2）連接AF，先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠B=∠C=30°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=FC，則∠FAC=∠C=30°，接著計(jì)算出∠BAF=90°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得到2AF=BF，從而得到結(jié)論．

（1）解：如圖，EF即為所作；

（2）證明：連接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=（180°-120°）=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，AF=BF，
∴CF=BF，

∴BF=2CF．