Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，BM為⊙O的切線，點C為射線BM上一點，連接AC交⊙O于點D，點E為BC上一點．連接AE交半圓于F．
（1）如圖1，若AE平分∠BAC，求證：∠DBF=∠CBF；

（2）如圖2，過點D作⊙O的切線交BM于N，若DN⊥BM，求證：△ABC為等腰直角三角形；
（3）在（2）的條件下，如圖3，延長BF交AC于G，點H為AB上一點，且BH=2BE，過點H作AE的垂線交AC于P，連接OG交DN于K，若AP=CG，EF=1，求GK的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，

∵AB是直徑，BM是切線，

∴∠AFB=∠ABC=90°，

∵∠FAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，

∴∠CBF=∠FAB，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠FAB，

∵∠DBF=∠EAC，

∴∠DBF=∠CBF．

（2）解：證明：如圖2中，連接DM．

∵DM是⊙O的切線，DM⊥BC，

∴∠ODM=∠DMB=∠OBM=90°，

∴四邊形ODMB是矩形，

∵OD=OB，

∴四邊形ODMB是正方形，

∴∠DBO=45°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=45°，∵∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（3）解：如圖3中，連接PB，作CM⊥BC交HP的延長線于M，延長BG交CM于N，作GR⊥AB于R，交DN于T．

∵AP=CG，∠BAP=∠BCG=45°，BA=BC，

∴△BAP≌△BCG，

∴BP=BG，

∴∠BPG=∠BGP，

∵HM⊥AE，BN⊥AE，

∴HM∥BN，∵MN∥BH，

∴四邊形MNBH是平行四邊形，

∴MN=BH，

∵∠APH=∠CPM=∠BGP=∠BPG，

PC=PC，∠PCB=∠PCM，

∴△PCM≌△PCB，

∴CM=BC=AB，

∵BC=AB，∠ABE=∠BCN，易證∠BAE=∠CBN，

∴△ABE≌△BCN，

∴BE=CN，設BE=CN=a，則BH=MN=2a，

∴CM=BC=AB=3a，

∴AH=BE=a，

∵△BFE∽△ABE，

∴ = = ，

∵EF=1，

∴BF=3，BE= = ，

∴AH=CN=BE= ，AB=BC=CM=3 ，

∵AH∥CM，

∴ = = ，

∵AP=CG，

∴AP=DP=DG=CG，

∵GR∥BC，

∴ = = ，

∴AR=GR= ，OR=RB= ，

在Rt△GOR中，GO= = ，

∵DK∥OA，

∴ = = ，

∴GK= ．

【解析】（1）由AB是直徑和MB是⊙O的切線，易證得∠CBF=∠FAB，再根據角平分線的定義和同弧所對的圓周角相等，可證得結論。
（2）根據題意，易證得四邊形ODMB是正方形，根據正方形的每一條對角線平分一組對角，得到∠DBO=45°，再由圓周角的性質，可證得∠BAC=∠ACB=45°，即可得出△ABC是等腰直角三角形.
（3）先證明△BAP≌△BCG得出BP=BG，再證明四邊形MNBH是平行四邊形，得出MN=BH，然后證明△PCM≌△PCB、△ABE≌△BCN得出對應邊相等，設BE=CN=a，則BH=MN=2a，易證△PCM≌△PCB，建立方程求出相關線段的長，根據勾股定理及平行得線段成比例，建立方程，求解即可求得GK的值。
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的判定與性質和切線的判定定理，需要了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．