Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)；（2），和；（3）.

【解析】

（1）如圖1中，當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式y＝﹣x2+2，畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問題即可；（2）如圖2中，當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結(jié)合圖象即可解決問題；（3）如圖3中，拋物線的頂點(diǎn)P（m，m+2），推出拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝x+2上，由點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F（2，2），觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外），求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)E或點(diǎn)F時(shí)Dm的值，即可判斷．

解：（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為

畫出函數(shù)圖像（圖1）

圖1

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

拋物線經(jīng)過點(diǎn)和

好點(diǎn)有：，，，和，共5個(gè)

（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式為

畫出函數(shù)圖像（圖2）

圖2

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

該拋物線上存在好點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，和

（3）拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為

點(diǎn)P支直線上

由于點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則

如圖3，點(diǎn)，

圖3

當(dāng)頂點(diǎn)P支正方形OABC內(nèi)，且好點(diǎn)恰好存在8個(gè)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外）

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，

解得：，（舍去）

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，

解得：，（舍去）

當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個(gè)好點(diǎn)