Question

【題目】如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，直線11：y＝tx﹣t（t≠0）分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線l2：y＝（k≠0）交于點(diǎn)D（2，2），點(diǎn)B，C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AC，將Rt△AOC沿AD方向平移，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)D，得到Rt△DEF．

（1）寫(xiě)出k的值，點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是否在l2上，并驗(yàn)證你的結(jié)論；

（3）在ED的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M（4，2），過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸，交l2于點(diǎn)N，連接ND，求直線ND的解析式；

（4）直接寫(xiě)出線段AC掃過(guò)的面積．

Answer 1

【答案】（1）k＝4，A（1，0）；（2）點(diǎn)F在l2上；（3）y＝﹣x+3；（4）線段AC掃過(guò)的面積等于平行四邊形ACFD的面積＝4．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法和x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用平移求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，判斷即可；

（3）先確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（4）先判斷出AC掃過(guò)的部分是平行四邊形ACFD，再判斷出點(diǎn)C，D，E在一條直線上，A，E，F也在同一條直線上，即可結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)D（2，2）在雙曲線l2：y＝（k≠0）上，

∴2＝，

∴k＝4

點(diǎn)D（2，2）在直線11：y＝tx﹣t（t≠0）上，

∴2t﹣t＝2，

∴t＝2，

∴直線11：y＝2x﹣2

令y＝0，

∴2x﹣2＝0，

∴x＝1，

∴A（1，0），

故答案為：4，（1，0）；

（2）點(diǎn)F在l2上，

由（1）知，直線l1：y＝2x﹣2，

∴點(diǎn)B（0，﹣2），

∵點(diǎn)B，C關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴C（0，2），

又平移后，DE＝AO＝1，EF＝CO＝2，

∴點(diǎn)E（1，2），則F（1，4）

∵雙曲線l2的解析式為：y＝，

∴點(diǎn)F（1，4）的坐標(biāo)滿足解析式y＝，故點(diǎn)F在l2上；

（3）∵M（4，2），MN∥y軸，交l2于點(diǎn)N，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)等于4，且在y＝上，

∴N（4，1），

又D（2，2），

設(shè)直線ND的解析式為y＝ax+b（其中a，b為常數(shù)，且a≠0），

則 ，解得 ，

∴直線ND的解析式為：y＝﹣x+3；

（4）如圖，連接CF，CE，AE，

由平移知，AC掃過(guò)的部分是平行四邊形ACFD，

由（1）知，C（0，2），E（1，2），

∵D（2，2），

∴點(diǎn)C，D，E在一條直線上，

同理A，E，F也在同一條直線上，

由平移知，EF⊥DE，

∵F（1，4），

∴AF＝4，

∵CD＝2，

∴線段AC掃過(guò)的面積等于平行四邊形ACFD的面積＝×CD×AF＝4．