【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D.
(1)求證:∠CAD=∠B.
(2)若AC是∠BAD的平分線,sinB=,BC=2.求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)⊙O的半徑為.
【解析】
(1)連結(jié)AO,并延長AO交⊙O與點E,連結(jié)EC,依據(jù)圓周角定理可得到∠B=∠E,然后根據(jù)直徑所對的圓周角為90°,得出∠E+∠EAC=90°,再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠EAC+∠CAD=90°,進(jìn)行證明即可;
(2)根據(jù)AC是∠BAD的平分線,結(jié)合(1)中結(jié)論證出BC=AC,然后由∠B=∠E可得到sinE=,從而可求得AE的長,然后可求得⊙O的半徑.
解:(1)連結(jié)AO,并延長AO交⊙O與點E,連結(jié)EC.
∵AD為⊙O的切線,
∴OA⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴∠EAC+∠CAD=90°.
∵AE為⊙O的直徑,
∴∠E+∠EAC=90°,
∴∠E=∠CAD.
又∵∠E=∠B,
∴∠CAD=∠B.
(2)∵AC是∠BAD的平分線,
∴∠BAC=∠CAD.
又∵∠CAD=∠B,
∴∠BAC=∠CAB.
∴AC=BC=2.
又∵∠E=∠B,
∴∠CAD=∠B.
∴sinE=sinB=,
在RtAEC中,sinE=,
即=,解得AE=,
∴⊙O的半徑為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科技有限公司用160萬元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用,成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品,已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售.已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件,在銷售過程中發(fā)現(xiàn):每年的年銷售量y(萬件)與銷售價格x(元/件)的關(guān)系如圖所示,其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分,設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為s(萬元).(注:若上一年盈利,則盈利不計入下一年的年利潤,若上一年虧損,則虧損記作下一年的成本)
(1)請求出y(萬件)與x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤s(萬元)與x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式,并求出第一年年利潤的最大值;
(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤s(萬元)取得最大值時進(jìn)行銷售,現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況,決定第二年這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格x(元/件)定在8元以上(x>8),當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀?/span>103萬元時,請結(jié)合年利潤s(萬元)與銷售價格x(元/件)的函數(shù)示意圖,求銷售價格x(元/件)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一粒木質(zhì)中國象棋子“兵”,它的正面雕刻一個“兵”字,它的反面是平的將它從一定高度下擲,落地反彈后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下由于棋子的兩面不均勻,為了估計“兵”字面朝上的概率,某實驗小組做了棋子下擲實驗,實驗數(shù)據(jù)如下表:
實驗次數(shù)n | 20 | 60 | 100 | 120 | 140 | 160 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
“兵”字面朝上次數(shù)m | 14 | 38 | 52 | 66 | 78 | 88 | 280 | 550 | 1100 | 2750 |
“兵”字面朝上頻率 |
下面有三個推斷:投擲1000次時,“兵”字面朝上的次數(shù)是550,所以“兵”字面朝上的概率是;隨著實驗次數(shù)的增加,“兵”字面朝上的頻率總在附近,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“兵”字面朝上的概率是;當(dāng)實驗次數(shù)為200次時,“兵”字面朝上的頻率一定是其中合理的是
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某日的錢塘江觀潮信息如表:
按上述信息,小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離(千米)與時間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示,其中:“11:40時甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點,點坐標(biāo)為,曲線可用二次函數(shù)(,是常數(shù))刻畫.
(1)求的值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度;
(2)11:59時,小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘后與潮頭相遇?
(3)相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為千米/分,小紅逐漸落后,問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間?(潮水加速階段速度,是加速前的速度).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O內(nèi)切于Rt△ABC,點P、點Q分別在直角邊BC、斜邊AB上,PQ⊥AB,且PQ與⊙O相切,若AC=2PQ,則tan∠B的值為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點A(1,4)、點B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于二次函數(shù)y=mx2+(5m+3)x+4m(m為常數(shù)且m≠0)有以下三種說法:
①不論m為何值,函數(shù)圖象一定過定點(﹣1,﹣3);
②當(dāng)m=﹣1時,函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有3個交點;
③當(dāng)m<0,x≥﹣時,函數(shù)y隨x的增大而減。慌袛嗾婕,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD,邊長等于2,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,圖中陰影部分由四個小扇形組成,對于下列判斷中正確的有( )
①空白圖形空白部分的周長=2 ②空白部分的面積=
③四個小扇形的面積和 = ④菱形的面積=4
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,BC=6, .求BE的長.
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