Question

【題目】如圖1，點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時(shí)三角板旋轉(zhuǎn)的角度為_______度.

(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在的內(nèi)部.試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在上述直角三角板從圖1開(kāi)始繞點(diǎn)O按每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中， 是否存在所在直線平分和中的一個(gè)角，ON所在直線平分另一個(gè)角？若存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）90；（2）∠AOM∠NOC＝30°，理由見(jiàn)解析；（3）存在，2秒或5秒或8秒．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角為∠MON；
（2）如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件：∠AOC：∠BOC＝1：2，求得∠AOC＝60°，然后由直角的性質(zhì)、圖中角與角的數(shù)量關(guān)系推知∠AOM∠NOC＝30°；
（3）需要分類討論：當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角是60°；當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為240°．

解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：
旋轉(zhuǎn)角為∠MON＝90°．
故答案為:90．
（2）

如圖3：∠AOM∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AON＋∠CON＝60°，①
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，②
②①，得∠AOM∠CON＝30°．

（3）
如圖4，當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，ON所在直線平分∠AOC，
∠BOM＝60°，
∴三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
此時(shí)t＝60÷30＝2（秒）；
如圖5，當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，OM所在直線平分∠BOC，
∠CON＝30°，
∴三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°，
此時(shí)t＝240÷30＝8（秒）．
當(dāng)OM旋轉(zhuǎn)150度時(shí)也符合要求，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了5秒．
答：旋轉(zhuǎn)時(shí)間為2秒或5秒或8秒．