Question

【題目】懸索橋，又名吊橋，指的是以通過索塔懸掛并錨固于兩岸（或橋兩端）的纜索（或鋼鏈）作為上部結(jié)構(gòu)主要承重構(gòu)件的橋梁. 其纜索幾何形狀一般近似于拋物線.從纜索垂下許多吊桿（吊桿垂直于橋面），把橋面吊住.某懸索橋（如圖1），是連接兩個地區(qū)的重要通道. 圖2是該懸索橋的示意圖.小明在游覽該大橋時，被這座雄偉壯觀的大橋所吸引. 他通過查找資料了解到此橋的相關(guān)信息：這座橋的纜索（即圖2中橋上方的曲線）的形狀近似于拋物線，兩端的索塔在橋面以上部分高度相同，即AB=CD, 兩個索塔均與橋面垂直. 主橋AC的長為600 m，引橋CE的長為124 m.纜索最低處的吊桿MN長為3 m，橋面上與點(diǎn)M相距100 m處的吊桿PQ長為13 m.若將纜索的形狀視為拋物線，請你根據(jù)小明獲得的信息，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出索塔頂端D與錨點(diǎn)E的距離.

圖2

Answer 1

【答案】索塔頂端D與錨點(diǎn)E的距離為155米.

【解析】

先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,AC所在直線為x軸，MN所在直線為y軸，

再由已知條件和拋物線的對稱性確定出點(diǎn)坐標(biāo)：.

設(shè)拋物線的表達(dá)式為.

將Q的坐標(biāo)帶入.，解得a的值，就可得出拋物線的表達(dá)式.

當(dāng)MC=時，帶入拋物線的表達(dá)式，得出y值就是CD 的長度，在Rt△DCE中利用勾股定理得出DE的長度.

也就是塔頂端D與錨點(diǎn)E的距離

解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

．

依題意可知,

.

由拋物線的對稱性可知，.則可得點(diǎn)坐標(biāo)：.

設(shè)拋物線的表達(dá)式為.

因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)Q，

所以將點(diǎn)Q的坐標(biāo)帶入得.

解得.

得拋物線的表達(dá)式為.

當(dāng)時，得.

因為,

所以.

所以.

答：索塔頂端D與錨點(diǎn)E的距離為155米.