Question

【題目】如圖， 正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC，若ΔABC面積為 2.

（1）求k的值

（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使ΔABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=2（2）D（，0）或（-，0）

【解析】試題分析:(1)根據(jù)對稱性可得OA=OB,從而可得△ACO的面積為1,由此可求出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題,

(2)先將y=2x與y=聯(lián)立成方程組,求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),由 O為線段AB的中點(diǎn),

可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m,n）,

∵點(diǎn)A在直線y=2x上,

∴n=2m,

根據(jù)對稱性可得OA=OB,

∴S△ABC=2S△ACO=2,

∴S△ACO=1,

∴m2m=1,

∴m=1（舍負(fù)）,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,

∴k=1×2=2,

（2）x軸上存在一點(diǎn)D,使△ABD為直角三角形,

將y=2x與y=聯(lián)立成方程組得:

,

解得: ,,

∴A（1,2）,B（－1,－2）,

當(dāng)AD⊥BD時(shí),如圖,

∵O為線段AB的中點(diǎn),

∴OD=AB=OA,

∵A（1,2）,

∴OC=1,AC=2,

由勾股定理得:OA==,

∴OD=,

∴D（,0）,

根據(jù)對稱性,當(dāng)D為直角頂點(diǎn),且D在x軸負(fù)半軸時(shí),D（－,0）,

故x軸上存在一點(diǎn)D,使△ABD為直角三角形,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（,0）或（－,0）.