Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)．DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問(wèn)題：                                   [根據(jù)2010年青島中考試卷改編]

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.

∴CE = CQ.                                              

由題意知：CE = t，BP =2 t，                            

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

則AP = 10－2t.

∴10－2t = 8－t.

解得：t = 2.                                             

答：當(dāng)t = 2s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上.

（2）過(guò)P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .        

∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .                     

∵，∴拋物線開(kāi)口向上.

∴當(dāng)t = 3時(shí)，y_最小=.                             

答：當(dāng)t = 3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².

 （3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

過(guò)P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．                          

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .                                     

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t = 1.                                         

答：當(dāng)t = 1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.