Question

【題目】如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE；

（1）試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由．

（2）當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）四邊形BECF是菱形．證明見解析；（2）當(dāng)∠A=45°時，菱形BECF是正方形．證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因為CF＝AE，可通過求證EC=AE得BE＝EC＝BF＝FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，證明四邊形BECF是菱形；

（2）當(dāng)∠A＝45°時，可得∠EBF＝90°，即可得到菱形BECF是正方形．

（1）四邊形BECF是菱形．

證明：如圖，∵BC的垂直平分線為EF，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，

∴∠2=∠A，

∴EC=AE，

又∵CF=AE，BE=EC

∴BE=EC=CF=BF，

∴四邊形BECF是菱形；

（2）當(dāng)∠A=45°時，菱形BECF是正方形．

證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠3=45°，
∴∠EBF=2∠3=90°，
∴菱形BECF是正方形．