Question

【題目】（本題共12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．已知點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）求此拋物線的解析式；

（2） 過點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn)， 如果以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于，兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相交；過程見解析；（3）△PAC的面積最大值為；點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

試題分析：

（1）首先將拋物線的解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式；

（2）首先根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的長(zhǎng)度，然后設(shè)圓與相切于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意得出和相似，從而得出的長(zhǎng)度，然后得出答案；

（3）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，求出的解析式，根據(jù)函數(shù)解析式分別設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)度，然后將的面積用含的代數(shù)式表示出來，從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出最大值．

試題解析：

解:（1）設(shè)拋物線為．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴．

∴．

∴拋物線為........（2分）

（2）與相交．

當(dāng)時(shí)，，．

∴為，為........（2分）

∴．

設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，則．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴

∴．

∴．

∴........（3分）

∵拋物線的對(duì)稱軸為，

∴點(diǎn)到的距離為．

∴拋物線的對(duì)稱軸與相交........（5分）

（3）過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn)．

根據(jù)題意可得：的解析式為........（1分）

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

∴．

∵........（3分）

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大為........（4分）

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為........（5分）